20.11.2013 Views

fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

70 Chapitre II<br />

λ − µ + β + 2γ + 3δ + 4ε<br />

plus grand <strong>de</strong>s nombres obtenus en parcourant tous les termes du second type.<br />

α + β + γ + δ + ε<br />

Newton affirme alors, sans aucune justification, que le premier terme <strong>de</strong> <strong>la</strong> série cherchée pour y est <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />

forme az ν et qu’il suffit d’une simple substitution dans l’équation pour obtenir <strong>la</strong> valeur du coefficient a.<br />

Une fois le premier terme déterminé, on pose y = az ν + p et on se ramène à une équation fluxionnelle en z<br />

et p, à <strong>la</strong>quelle on applique le même processus pour trouver le second terme <strong>de</strong> <strong>la</strong> série, et ainsi <strong>de</strong> suite.<br />

Tentons <strong>de</strong> reconstituer le point crucial du raisonnement, c’est-à-dire <strong>la</strong> détermination <strong>de</strong> l’exposant ν.<br />

L’équation a été mise sous <strong>la</strong> forme<br />

(1) kz λ + o(z λ ) = lz µ y α ẏ β ˙ẏ γ ˙˙ẏ δ ˙˙ ˙ẏ ε + L.<br />

Si l’on suppose que y = az ν + o(z ν ), alors le terme <strong>de</strong> plus bas <strong>de</strong>gré <strong>de</strong> lz µ y α ẏ β ˙ẏ γ ˙˙ẏ δ ˙˙ ˙ẏ ε est <strong>de</strong> <strong>de</strong>gré<br />

µ + αν+ β(ν − 1) + γ (ν − 2) + δ(ν − 3) + ε(ν − 4). Pour que l’égalité (1) soit possible, on doit avoir, pour<br />

tous les termes du second membre, l’inégalité<br />

qui s’écrit encore<br />

µ + αν+ β(ν − 1) + γ (ν − 2) + δ(ν − 3) + ε(ν − 4) ≥ λ ,<br />

λ − µ + β + 2γ + 3δ + 4ε<br />

ν ≥ ,<br />

α + β + γ + δ + ε<br />

et, par suite, l’exposant ν est nécessairement le plus grand <strong>de</strong>s nombres<br />

λ − µ + β + 2γ + 3δ + 4ε<br />

.<br />

α + β + γ + δ + ε<br />

Si ce raisonnement conduit bien au résultat du texte, c’est au prix d’une erreur : nous avons <strong>la</strong>issé <strong>de</strong><br />

côté le cas où <strong>de</strong>ux ou plusieurs termes du second membre pourraient comporter <strong>de</strong>s puissances <strong>de</strong> z<br />

d’ordre inférieur à λ, mais s’annuleraient mutuellement. Considérons, par exemple, l’équation fluxionnelle<br />

y˙ẏ + ẏ 2 = z . Si l’on pose y = az ν + o(z ν ), l’équation <strong>de</strong>vient a 2 ν (2ν − 1) z 2 ν −2 + o(z 2ν −2 ) = z. L’algorithme<br />

<strong>de</strong> Newton conduit à prendre 2ν − 2 = 1, soit ν = 32 et a 2 = 13. On trouve alors les solutions<br />

exactes y = z 32 3 et y =−z 32 3. Mais il y a une autre possibilité, c’est que ν (2ν − 1) = 0, c’est-à-dire<br />

ν = 0 ou ν = 12. Il y a donc aussi <strong>de</strong>s solutions en séries du type y = az 0 + L et du type y = az 12 + L.<br />

À titre <strong>de</strong> vérification, une intégration exacte immédiate aboutit à y =± c + dz + z 3 3 : selon les valeurs<br />

<strong>de</strong> c et d, on retrouve les développements en série précé<strong>de</strong>nts.<br />

Il est difficile <strong>de</strong> savoir si l’erreur <strong>de</strong> Newton est involontaire ou s’il s’agit d’une attitu<strong>de</strong> délibérée<br />

<strong>de</strong>stinée à privilégier l’obtention <strong>de</strong> solutions particulières au détriment <strong>de</strong> solutions dépendant <strong>de</strong> constantes<br />

arbitraires. Curieusement, cette erreur se retrouve régulièrement dans <strong>la</strong> littérature du 18 e siècle (par<br />

exemple chez Euler : cf. chap. III, 2.1.3).<br />

1.2.2. Le parallélogramme <strong>de</strong> Newton<br />

L’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’unique exemple <strong>de</strong> Newton permettra d’approfondir l’examen <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong>s séries<br />

<strong>de</strong> 1691. Il s’agit <strong>de</strong> l’équation<br />

(1) y 2 − z 2 ẏ − dd + dz = 0.<br />

Ici, λ = 0, correspondant au terme constant dd. Le quotient λ − µ + β vaut 0 pour le terme y 2 et –1<br />

α + β<br />

pour − z 2 ẏ. Il faut donc prendre ν = 0, et on trouve facilement que le premier terme <strong>de</strong> <strong>la</strong> série est d.<br />

Avant <strong>de</strong> passer aux étapes suivantes du calcul, il nous paraît intéressant <strong>de</strong> relier <strong>la</strong> détermination <strong>de</strong><br />

l’exposant ν à une technique analogue que Newton avait présentée dans le traité <strong>de</strong> 1671, sous une forme

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!