fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

70 Chapitre II
λ − µ + β + 2γ + 3δ + 4ε
plus grand des nombres obtenus en parcourant tous les termes du second type.
α + β + γ + δ + ε
Newton affirme alors, sans aucune justification, que le premier terme de la série cherchée pour y est de la
forme az ν et qu’il suffit d’une simple substitution dans l’équation pour obtenir la valeur du coefficient a.
Une fois le premier terme déterminé, on pose y = az ν + p et on se ramène à une équation fluxionnelle en z
et p, à laquelle on applique le même processus pour trouver le second terme de la série, et ainsi de suite.
Tentons de reconstituer le point crucial du raisonnement, c’est-à-dire la détermination de l’exposant ν.
L’équation a été mise sous la forme
(1) kz λ + o(z λ ) = lz µ y α ẏ β ˙ẏ γ ˙˙ẏ δ ˙˙ ˙ẏ ε + L.
Si l’on suppose que y = az ν + o(z ν ), alors le terme de plus bas degré de lz µ y α ẏ β ˙ẏ γ ˙˙ẏ δ ˙˙ ˙ẏ ε est de degré
µ + αν+ β(ν − 1) + γ (ν − 2) + δ(ν − 3) + ε(ν − 4). Pour que l’égalité (1) soit possible, on doit avoir, pour
tous les termes du second membre, l’inégalité
qui s’écrit encore
µ + αν+ β(ν − 1) + γ (ν − 2) + δ(ν − 3) + ε(ν − 4) ≥ λ ,
λ − µ + β + 2γ + 3δ + 4ε
ν ≥ ,
α + β + γ + δ + ε
et, par suite, l’exposant ν est nécessairement le plus grand des nombres
λ − µ + β + 2γ + 3δ + 4ε
.
α + β + γ + δ + ε
Si ce raisonnement conduit bien au résultat du texte, c’est au prix d’une erreur : nous avons laissé de
côté le cas où deux ou plusieurs termes du second membre pourraient comporter des puissances de z
d’ordre inférieur à λ, mais s’annuleraient mutuellement. Considérons, par exemple, l’équation fluxionnelle
y˙ẏ + ẏ 2 = z . Si l’on pose y = az ν + o(z ν ), l’équation devient a 2 ν (2ν − 1) z 2 ν −2 + o(z 2ν −2 ) = z. L’algorithme
de Newton conduit à prendre 2ν − 2 = 1, soit ν = 32 et a 2 = 13. On trouve alors les solutions
exactes y = z 32 3 et y =−z 32 3. Mais il y a une autre possibilité, c’est que ν (2ν − 1) = 0, c’est-à-dire
ν = 0 ou ν = 12. Il y a donc aussi des solutions en séries du type y = az 0 + L et du type y = az 12 + L.
À titre de vérification, une intégration exacte immédiate aboutit à y =± c + dz + z 3 3 : selon les valeurs
de c et d, on retrouve les développements en série précédents.
Il est difficile de savoir si l’erreur de Newton est involontaire ou s’il s’agit d’une attitude délibérée
destinée à privilégier l’obtention de solutions particulières au détriment de solutions dépendant de constantes
arbitraires. Curieusement, cette erreur se retrouve régulièrement dans la littérature du 18 e siècle (par
exemple chez Euler : cf. chap. III, 2.1.3).
1.2.2. Le parallélogramme de Newton
L’étude de l’unique exemple de Newton permettra d’approfondir l’examen de la méthode des séries
de 1691. Il s’agit de l’équation
(1) y 2 − z 2 ẏ − dd + dz = 0.
Ici, λ = 0, correspondant au terme constant dd. Le quotient λ − µ + β vaut 0 pour le terme y 2 et –1
α + β
pour − z 2 ẏ. Il faut donc prendre ν = 0, et on trouve facilement que le premier terme de la série est d.
Avant de passer aux étapes suivantes du calcul, il nous paraît intéressant de relier la détermination de
l’exposant ν à une technique analogue que Newton avait présentée dans le traité de 1671, sous une forme