fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

86 Chapitre II
Ce nouveau mémoire commence de la même manière que le précédent. Par le changement de variables
y = cx n−1 +
dz , Euler se ramène à l’équation linéaire du second ordre
azdx
(2)
ddz
dx + 2acxn−1 dz
+ (n − 1) acx n−2 z = 0.
2 dx
− n+1 − 3n+1 − 5n+1 − 7n+1
En posant z = Ax
2
+ Bx
2
+ Cx
2
+ Dx
2
+ etc., il trouve une solution particulière de (2),
− n+1
(nn − 1)
2
z = x +
8n
− 3n+1
2
x (nn − 1)(9nn − 1)
+
ac 8n ⋅16n
− 5n+1
2
x (nn − 1)(9nn − 1)(25nn − 1)
+
a 2 c 2 8n ⋅16n ⋅ 24n
− 7n+1
2
x
+ etc.,
a 3 c 3
qui lui permet d’exprimer la solution y de (1) comme quotient de deux séries. Les deux séries se terminent
lorsque (2i + 1) 2 nn − 1 = 0 pour un certain entier i, c’est-à-dire lorsque 2n − 2 = − 4i − 2 ± 2 . On retrouve,
2i + 1
une nouvelle fois, la condition de Daniel Bernoulli. Lorsque cette condition est satisfaite, la méthode des
séries permet donc de trouver une solution particulière algébrique. Euler prend la peine d’écrire explicitement
cette solution pour dix valeurs de n !
Reste à traiter le second problème, c’est-à-dire achever l’intégration pour les valeurs de n qui viennent
d’être identifiées. Pour cela, Euler utilise les résultats sur l’équation de Riccati qu’il avait découverts et
publiés l’année précédente. Une solution particulière étant connue, l’intégration peut s’achever par deux
quadratures. Après calcul, il vient
(3) y = cx n−1 + dz
azdx +
zz
e − 2acxn
n
e − 2acxn
n
∫ adx:zz
Euler a alors l’idée de chercher une seconde solution particulière de (1). Pour cela, il fait, cette fois, le
changement de variables y =−cx n−1 +
du et trouve
audx
− n+1
(nn − 1)
2
u = x −
8n
− 3n+1
2
x (nn − 1)(9nn − 1)
+
ac 8n ⋅16n
− 5n+1
2
x (nn − 1)(9nn − 1)(25nn − 1)
−
a 2 c 2 8n ⋅16n ⋅ 24n
.
− 7n+1
2
x
+ etc.
a 3 c 3
Deux solutions particulières de (1) étant connues, on peut achever l’intégration par une seule quadrature.
On aboutit à une autre expression de la solution générale, dans laquelle D est une constante arbitraire :
(4) y = cx n−1 + dz
azdx +
2c
2ac
n
z(De
x n z − u) .
Euler n’utilise les formules (3) et (4) que dans les cas où les séries qui représentent z et u se terminent,
car son but est uniquement une intégration traditionnelle par quadratures. Pourtant, dans le résumé placé
en tête du mémoire, il trouve tout à fait remarquable qu’on parvienne à des formules intégrales aussi
simples que (3) et (4) bien que z et u puissent continuer à l’infini (“cum igitur hae formae z et u adeo in
infinitum excurrere queant”). Euler est visiblement conscient que ses calculs formels restent valables
lorsque les séries sont infinies. Sans que ce soit tout à fait explicite, on peut dire qu’il élargit le procédé
d’intégration par quadratures d’une autre manière que par le recours à des intégrales définies dépendant
d’un paramètre. L’extension se fait, cette fois, par l’introduction de nouvelles transcendantes aux côtés des
transcendantes hyperboliques et circulaires. Cet emploi des séries sera, plus tard, à la base de la théorie
des fonctions spéciales.