fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

82 Chapitre II
2. La virtuosité eulérienne
À lui seul, Euler pourrait incarner les mathématiques du 18 e siècle. Né en Suisse mais résidant tantôt à
Saint-Pétersboug et tantôt à Berlin, écrivant indifféremment en latin, en allemand ou en français, entretenant
une correspondance régulière avec la plupart des mathématiciens continentaux, il s’est trouvé au
carrefour des recherches de son temps. Doué d’une puissance créatrice hors du commun, il a bâti une
œuvre immense qui a fait progresser de manière significative tous les domaines des mathématiques et de
la physique.
En particulier, ses travaux sur les équations différentielles sont considérables. En nous limitant à ceux
qui font intervenir, sous une forme ou sous une autre, la méthode des séries, nous avons pu repérer de
nombreux mémoires et chapitres de traités, occupant au total plusieurs centaines de pages. Il n’était pas
possible d’en faire ici une étude exhaustive. Pour une vue d’ensemble sur les problèmes de physique
mathématique et les types d’équations différentielles qui ont conduit Euler à employer les séries, nous
renvoyons aux analyses historiques de Watson 33 , Simonov 34 , Kline 35 et Dieudonné 36 . De notre côté, nous
avons choisi de mettre l’accent sur quelques textes peu connus qui semblent représentatifs des conceptions
et des méthodes eulériennes. Il s’agira, d’une part, d’une série de travaux théoriques sur les équations de
Riccati et les équations linéaires du second ordre, afin d’avoir le point de vue d’Euler “mathématicien”,
d’autre part, d’un traité d’artillerie, pour découvrir le comportement d’Euler “physicien”.
2.1. Recherches sur l’équation de Riccati et l’équation linéaire du second ordre
2.1.1. Sources des travaux d’Euler
En 1694, Jean Bernoulli indique qu’il n’a pas réussi à séparer les variables dans l’équation différentielle
x 2 dx + y 2 dx = a 2 dy. En 1702, Jacques Bernoulli ramène l’équation dy = y 2 dx + x 2 dx à l’équation
linéaire du second ordre ddu : u =−x 2 dx 2 , grâce au changement de variables y =−du udx . L’année suivante,
il résout l’équation du second ordre en série et en déduit une solution de l’équation initiale sous la
forme d’un quotient de deux séries. En 1724, à la suite d’une proposition du Comte Riccati, Daniel Bernoulli
s’intéresse à une équation plus générale, qui peut s’écrire dy + ay 2 dx = bx m dx, et montre que cette
équation est intégrable en termes finis pour les valeurs de m de la forme −
4n , avec n entier. En 1763,
2n ± 1
d’Alembert appelle “équation de Riccati” toute équation de la forme dy dx = P + Qy + Ry 2 , où P, Q, R
sont des fonctions données de x.
33 A treatise on the theory of Bessel functions, op. cit., chap. 1 : ”Bessel functions before 1826”.
34 “Sur les recherches d’Euler dans le domaine des équations différentielles”, Revue d’histoire des sciences, t. 21, 1968,
pp. 131-156.
35 Mathematical thought from ancient to modern times, pp. 478-489 et pp. 709-715.
36 Abrégé d’histoire des mathématiques, 2 e éd., pp. 31-43.