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102 Chapitre II
La raison de cette curieuse restriction n’est pas donnée mais on la devine lorsqu’on se rend compte que,
pour une équation du type (1), toutes les équations transformées vérifiées par y ′, y ′′, y ′′′, K sont encore du
type (1) (c’est dû au fait qu’on passe d’une fonction à la suivante par une transformation homographique).
Grâce à cette propriété remarquable, les équations de Riccati sont peut-être les seules équations pour lesquelles
il soit parfois possible de trouver des formules de récurrence définissant complètement le développement
en fraction continue de la solution ! Lagrange est bien conscient de cette difficulté (s’il avait réussi
à résoudre par les fractions continues une équation autre qu’une équation de Riccati, il n’aurait pas manqué
de nous en faire part), mais il préfère ne pas en parler car cela réduirait ouvertement la portée de sa
méthode. Il s’ingénie à souligner, au contraire, que l’équation de Riccati est “très générale” (p. 310).
Le premier exemple est celui de l’équation
(2) my + (1 + x) dy
dx = 0.
Après avoir calculé patiemment les huit premiers termes, Lagrange donne l’expression “générale” de la
solution (il n’y a pas, comme on pourrait le souhaiter aujourd’hui, de raisonnement par récurrence s’appuyant
sur une expression littérale du terme générique ; il faut sans doute comprendre que les huit termes
connus permettent d’induire sans ambiguïté tous les suivants) :
y =
1 +
a
mx
(m − 1) x
1 −
2
m + 1 x
1 +
3 2
m − 2 x
1 −
3 2
m + 2 x
1 +
5 2
m − 3 x
1 −
5 2
m + 3
1 +
7
1 − L
La fraction continue s’arrête lorsque m est entier. Lagrange retrouve la même conclusion en intégrant
directement l’équation (2), qui est linéaire. L’intégrale finie est y = a (1 + x) m ; en identifiant les deux
résultats, Lagrange obtient une expression en fraction continue de (1+ x) m qu’il juge “assez remarquable”
(p. 316). Cette nouvelle formule du binôme sert aussitôt de point de départ à cinq pages de calculs
virtuoses dans la tradition eulérienne, qui n’ont plus rien à voir avec les équations différentielles. En
prenant m infiniment petit, puis infiniment grand, Lagrange développe en fraction continue les quantités
log(1 + x) et e x . Par diverses transformations, il trouve encore d’autres développements en fractions continues
des fonctions usuelles hyperboliques et circulaires.
Les deux derniers exemples sont traités de la même manière :
(3) 1 − (1 + x n ) dy
dx = 0 ;
x
2
(4) 1 + 2mxy − y 2 + nx 2 dy
dx = 0.
.