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58 Chapitre II
Introduction
Dès les premiers temps du calcul infinitésimal, l’emploi des séries apparaît étroitement lié à la résolution
des problèmes de quadratures. Sans vouloir remonter abusivement jusqu’à la progression géométrique
potentiellement infinie utilisée par Archimède pour quarrer la parabole, on peut considérer que la première
série véritablement infinie, au sens moderne du terme, est la série logarithmique envisagée simultanément
par Nicolas Mercator et William Brouncker, en 1668, pour effectuer la quadrature de l’hyperbole.
L’exploitation systématique des séries infinies commence à peu près au même moment, avec les travaux
mathématiques d’Isaac Newton. Bien entendu, des quadratures à l’intégration des équations différentielles,
il n’y a qu’un pas qui est vite franchi.
La vulgarisation des séries provoque une évolution considérable du concept de fonction, qui s’élargit
soudain bien au delà des expressions algébriques de Descartes. La liberté, nouvellement acquise, d’itérer
une infinité de fois les opérations élémentaires de l’algèbre, c’est-à-dire de faire appel à des algorithmes
infinis (séries, mais aussi fractions continues et produits infinis), entraîne peu à peu l’apparition des nouvelles
fonctions transcendantes indispensables à la résolution des problèmes de la physique mathématique.
Cependant, tout au long du 18 e siècle, les problèmes causés par l’irruption de l’infini dans le calcul
algébrique restent masqués par une confiance inébranlable en la validité des calculs purement formels.
Plus tard, au 19 e siècle, la nécessité de justifier ces raisonnements d’un nouveau type se fait sentir. On
assiste alors à une réflexion en profondeur sur la notion de convergence, destinée à préciser en quel sens
les expressions infinies sont susceptibles de représenter quelque chose de réel.
Pour ce qui concerne l’intégration des équations différentielles par les séries, nous allons suivre les
étapes de cette évolution, depuis les premières tentatives empiriques de Newton et Leibniz jusqu’aux
recherches théoriques de Cauchy et Weierstrass, en passant par les calculs virtuoses d’Euler. Dans ce chapitre,
il sera surtout question des séries entières obtenues grâce à la formule de Taylor ou à la méthode des
coefficients indéterminés. Pour l’instant, les séries de fonctions issues des techniques d’approximations
successives, en particulier les séries liées à la méthode des perturbations des astronomes (séries trigonométriques,
développements par rapport à un paramètre…) ne seront que partiellement évoquées. Vu leur
spécificité et leur importance, elles feront l’objet d’une étude particulière dans le chapitre IV.