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80 Chapitre II
puis la fluxion de l’angle de réfraction est exprimée en fonction de l’altitude et de la densité par la relation
a 2 byẋ
(2) ˙α =
.
2cx 2 ×1 + y × 1+y
1+d x2 − b 2
Par des calculs assez compliqués, qui mêlent les équations (1) et (2) et qui font appel à plusieurs changements
de variables, Taylor parvient à extraire l’angle de réfraction sous forme de série, par deux méthodes
différentes. Le détail de ces calculs ne nous semble pas présenter un grand intérêt car on n’y perçoit
pas de principe conducteur susceptible d’être généralisé. Par contre, ce qu’il est important de retenir,
c’est que la méthode des séries est, apparemment pour la première fois, employée à la résolution d’un
système d’équations fluxionnelles.
La lecture du Methodus incrementorum est fascinante. Taylor y fait preuve, presque à chaque page,
d’une rare inventivité. Il réalise, en particulier, une synthèse personnelle remarquablement enrichie des
premiers travaux sur la méthode des séries : rappel de la méthode des coefficients indéterminés, perfectionnement
de l’algorithme des extractions successives de Newton avec mise au point définitive de la
technique du parallélogramme, invention de la méthode de la série de Taylor, application de la méthode
des séries aux systèmes d’équations fluxionnelles. Le Methodus incrementorum mériterait sans doute
d’occuper une place plus importante dans les livres d’histoire du calcul infinitésimal.
1.5. Deux conceptions de l’intégration
Nous arrivons au terme de ce qu’on pourrait appeler, pour l’intégration des équations différentielles
par les séries, la période initiale de fondation. Vers 1715, sont en place les trois versions classiques de la
méthode, soit, par ordre chronologique d’apparition, les approximations successives (Newton), les coefficients
indéterminés (Newton et Leibniz) et la série de Taylor, sous forme implicite (Jean Bernoulli) et
explicite (Taylor). Ces méthodes sont d’ores et déjà utilisées avec confiance et sûreté, malgré la présence
de zones d’ombre : on ne perçoit pas toujours que la méthode des coefficients indéterminés est plus générale
que celle de la série de Taylor, on n’identifie pas clairement le rôle théorique de la constante d’intégration,
on ne soulève guère la question de la convergence si ce n’est lors des calculs numériques effectifs.
Par ailleurs, on n’est pas capable d’expliquer pourquoi la méthode conduit tantôt à plusieurs solutions et
tantôt à aucune, tantôt à des séries particulières et tantôt à des séries dépendant de constantes arbitraires.
Pendant cette première phase, l’utilisation des séries est révélatrice de deux conceptions nettement différentes
du problème inverse des tangentes. D’un côté, celle de Newton et des géomètres anglais, pour qui
la méthode des séries est la méthode générale et quasi définitive d’intégration, de l’autre côté, celle de
Leibniz, de Bernoulli et des savants continentaux, qui s’intéressent en priorité à l’intégration algébrique en
termes finis. Cette opposition se manifeste de manière exemplaire dans les remarques que fit Jean Bernoulli
à propos d’un livre de Stone 32 . En choisissant quelques citations de l’un et de l’autre, nous avons
reconstitué un court dialogue imaginaire, dans lequel Stone défend les positions des anglais, et Bernoulli
celles des continentaux :
Stone : “Le Calcul intégral ne va pas sans le secours des Séries… il faut développer [les Problèmes]
en Séries infinies.”
32 “Remarques sur le livre intitulé «Analyse des infiniments petits comprenant le Calcul intégral dans toute son étendue, &c.»,
par Mr. Stone, de la Société Royale de Londres, imprimé à Paris en 1735”, Johannis Bernoulli Opera omnia, op. cit., t. 4,
pp. 169-177.