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76 Chapitre II
d’où aussitôt, par intégration,
(2) Integr. ndz =+nz − zzdn
1.2.dz +
z3 ddn
1.2.3. dz − z4 dddn
&c.
2 1.2.3. 4.dz 3
On comprend mieux ce calcul fort laconique si, dans la série (1), on regroupe les termes deux par deux
pour faire apparaître des différentielles de produits :
⎛
ndz =+(ndz + zdn) − zdz. dn
dz + z2 dn
.d ⎛ ⎞⎞
⎛
⎜
⎝ 1.2 ⎝ dz ⎠
⎟ + ⎜
z2
⎠ ⎝1.2 dz.
ddn
dz 2 + z3
1.2.3
ddn
.d ⎛ ⎞⎞
⎝ dz 2 ⎠
⎟ &c.
⎠
Dans le cas où n est une fonction de z, compte tenu du fait que, comme Newton ou Leibniz, Bernoulli
prend toujours la primitive qui s’annule en zéro, nous pouvons réécrire la formule (2), en notation
moderne, sous la forme
z
⎡
∫ n(z)dz =− n(z)
0
⎣
⎢
(0 − z)
1!
(0 − z)2 (0 − z)3 (0 − z)4 ⎤
+ n ′(z) + n ′′(z) + n ′′′(z) + L
2!
3!
4! ⎦
⎥ .
Nous reconnaissons, à peu de chose près, le développement que nous avons déjà rencontré chez Newton et
qui est attribué traditionnellement à Taylor (cf. 1.4.1).
Bernoulli utilise la formule (2) pour retrouver les séries que Leibniz avait calculées, l’année précédente,
par la méthode des coefficients indéterminés. C’est ainsi qu’il obtient, à son tour, les développements
en série du logarithme et du sinus, et qu’il revient à l’équation de Debeaune ds = (ydy − sdy):a ,
celle que Leibniz écrivait a dz + z − y = 0 . Il pose z = y, r = y – s, n = r : a, et calcule les différences successives
de n grâce à l’équation différentielle. Reconstituons, pour y voir clair, le détail du calcul de dn
dy
:
dn = dr
a
=
dy − ds
a
= 1 ⎛
a ⎝
dy −
ydy − sdy
a
= a − r , etc., d’où, par substitu-
a 4
Bernoulli trouve ainsi successivement dn
dz = a − r , ddn
a 2 dz 2
tion dans la formule (2) :
⎞
⎠
=
ady − (y − s)dy
aa
= − a + r , dddn
a 3 dz 3
=
ady − rdy
.
aa
s = ry a
−
(a − r)y2
1.2.a 2
−
(a − r)y3 (a − r)y4
3
− &c.,
1.2.3. a 1.2.3. 4.a 4
ce qui s’écrit encore, en remplaçant r par sa valeur :
as − yy + sy
− aa + ay − as = yy
1.2 aa + y 3
1.2.3 a + y 4
&c.
3 1.2.3. 4 a 4
Bernoulli remarque, à juste titre, que la dernière égalité détermine la solution s. Mais nous voyons
aussitôt l’inconvénient de cette façon de procéder. En effectuant un développement de Taylor, non pas au
point constant 0, mais au point variable z, on aboutit, en général, à une détermination implicite de la
solution. Nous pouvons, cependant, considérer que Bernoulli est presque l’inventeur de la méthode de la
série de Taylor, troisième version de la méthode des séries, qui consiste à déterminer directement les
termes successifs du développement de la solution à partir de l’équation différentielle et des équations dérivées.
Leibniz devait féliciter Bernoulli pour ce “procédé merveilleux” et allait engager ses propres recherches,
peu après, dans la même voie.