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78 Chapitre II
Au vu de cet exemple, on peut considérer que Taylor est le véritable inventeur de la méthode de la
série de Taylor pour l’intégration par les séries des équations différentielles. En effet, il met en œuvre
cette méthode sous forme explicite en développant l’intégrale au point initial, alors que Bernoulli ne
l’avait fait que sous forme implicite par un développement au point courant. Dans la mesure où Taylor est
le premier à exploiter de cette façon la formule qui porte son nom pour résoudre le problème central de
l’Analyse, c’est-à-dire la résolution des équations fluxionnelles, il nous semble que la dénomination de
“formule de Taylor” n’est pas totalement usurpée.
1.4.2. Une nouvelle version du parallélogramme de Newton
Un peu plus loin dans le traité, on trouve également la méthode des coefficients indéterminés, à propos
de l’équation ˙ẋ − ẋz − 2x = 0. Conformément à la seconde méthode de Newton, l’intégrale, cherchée sous
la forme x = A + Bz + Cz 2 + Dz 3 + Ez 4 + &c., est obtenue sans difficulté par substitution dans l’équation
et identification. Taylor rappelle cependant que cette méthode ne réussit pas toujours car il est souvent
impossible de deviner à l’avance la forme de la série. Il faut donc se rabattre sur la première méthode de
Newton, consistant à extraire les termes l’un après l’autre sans préjuger de leur forme. C’est l’occasion
(Proposition 9) d’un exposé renouvelé de la règle du parallélogramme (cf. 1.2.2), illustré par l’équation
(1) 1 + zx − z 32 xẋ − ˙ẋ = 0.
Pour un premier terme du développement de x cherché sous la forme Az θ , les exposants correspondant
aux différents termes de l’équation sont respectivement 0 pour 1, θ + 1 pour zx, 2θ + 1 2 pour z3 2 xẋ,
θ − 2 pour ˙ẋ. Taylor représente géométriquement ces exposants :
C
A
0
E
θ + 1
2θ + 1/2
G
D F B
H
θ – 2
Fig. II.3. Le polygone de Taylor (1715)
Le schéma est un avatar du parallélogramme de Newton : l’abscisse représente la partie de l’exposant
provenant des facteurs en x et l’ordonnée celle provenant des facteurs en z. Taylor explique, par un raisonnement
assez difficile à suivre, que l’on doit tracer le polygone joignant les points symbolisant les différents
exposants et que l’on doit égaler les valeurs associées à deux sommets consécutifs de ce polygone.
D’un point de vue moderne, tout ceci s’explique assez bien par la théorie de la convexité. En effet, considérons
le polygone qui délimite l’enveloppe convexe des exposants (dans le cas général, il peut y avoir
des points à l’intérieur). Le problème est de minimiser la forme linéaire (s, t) a sθ + t sur l’ensemble des
points représentatifs des exposants (pour trouver une série ascendante), ou de la maximiser (pour une série
descendante), avec un extremum atteint en au moins deux points (pour ne pas aboutir à un coefficient nul).
Or, nous savons que si une forme linéaire atteint un même extremum en deux points d’un polygone convexe,
elle l’atteint nécessairement en deux sommets appartenant à un même côté. On retrouve bien l’idée
de Taylor d’égaler les valeurs associées à deux sommets consécutifs quelconques. Le procédé du parallé-