fichier pdf - IUFM de l'académie de la Réunion

104 Chapitre II
x 2∆
x 3∆
1 + x ∆
a∆ + 1.2ab∆ + 2 1.2.3abc∆ + 3 1.2.3. 4abcd∆ + etc. 4
z =
1
a + x .
∆
ab∆ + x 2∆
1.2abc∆ + x 3∆
2 1.2.3abcd∆ + x 4∆
3 1.2.3. 4abcde∆ + etc. 4
Son idée est de chercher une équation différentielle vérifiée par z, de résoudre cette équation et de remplacer
x par 1 dans la solution, de manière à retrouver la somme de la fraction continue initiale. Notons bien
que la problématique première des recherches d’Euler n’est pas du tout d’intégrer les équations différentielles
à l’aide des fractions continues, mais, au contraire, de calculer la somme des fractions continues en
passant par l’intermédiaire d’une équation différentielle (c’est sans doute la présence du quotient de deux
séries qui lui a fait faire un rapprochement avec l’équation de Riccati : cf. 2.1.3 et 2.1.4).
Euler montre que z est la solution, qui vérifie z = a pour x = 0, de l’équation de Riccati
x 4∆
(1) zzdx = azdx + x ∆ dx − xdz,
ce qui lui permet de trouver une expression finie de la somme de la fraction continue, pour certaines
valeurs de ∆ correspondant aux cas connus d’intégrabilité par quadratures de l’équation (1). Dans la dernière
partie du mémoire, Euler renverse la problématique et intègre au moyen des fractions continues
diverses équations de Riccati qui se ramènent à la forme (1), en retrouvant au passage, lorsque les fractions
continues se terminent, les cas d’intégrabilité dus à Daniel Bernoulli.
Le ressort principal des calculs eulériens réside dans l’identification de plusieurs écritures, obtenues
par diverses méthodes, d’un même nombre ou d’une même fonction. Simonov 65 a pertinemment souligné
que, dans le cas des équations différentielles, le procédé n’est justifié que dans la mesure où l’on s’est
assuré au préalable de l’unicité de la solution. Or, comme on s’en doute, Euler ne se préoccupe pas plus du
problème de l’unicité que de celui de l’existence. Conformément à la pensée du 18 e siècle, il va de soi,
pour lui, que des conditions initiales données déterminent toujours une unique solution. Certes, cette conviction
est sans conséquence en un point ordinaire, mais, ici, il s’avère que, pour les valeurs positives
de ∆, le point (0, a) est un point singulier de l’équation (1). En un tel point, nous savons que l’unicité n’est
pas garantie : Euler n’aurait-il pas commis des erreurs en identifiant des écritures représentant des solutions
distinctes ? En fait, dans le cas présent, le point singulier est toujours un col (au sens de la classification
de Poincaré), c’est-à-dire que, par le point (0, a), passent deux courbes intégrales et deux seulement,
dont l’une, d’équation x = 0, ne définit pas z comme fonction de x. Tout se passe donc comme s’il y
avait unicité : Euler ne pouvait pas se tromper.
Dans le second mémoire, celui de 1780, Euler veut simplifier et approfondir les résultats auxquels il
était parvenu à la fin du mémoire précédent. Il part de l’équation de Riccati
(2) axdz − czdx + zzdx = x n dx ,
et remarque que le changement de variables z = c + x n
p conduit à l’équation
axdp− (c + na)pdx + ppdx = x n dx,
qui est identique à (2), au changement près de c en c + na. À partir de là, la voie est ouverte pour obtenir,
par récurrence, le développement de z en une fraction continue dont les termes sont en progression arithmétique.
Euler retrouve ainsi, en raisonnant dans l’autre sens, les résultats du premier mémoire et les enrichit
de compléments.
65 “Sur les recherches d’Euler dans le domaine des équations différentielles”, op. cit., pp. 134-136.