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88 Chapitre II par un système de deux équations différentielles du second ordre. Par exemple (p. 195), dans le cas des racines imaginaires, l’équation (1) conduit au système I. xx(a + bx n )ddv + x(c + ex n )dxdv + ( f + gx n )vdx 2 ⎫ − 2µ x(a + bx n )dxdu − µµ(a + bx n )vdx 2 ⎪ ⎬ = 0, + µ (a + bx n )udx 2 ⎪ − µ (c + ex n )udx 2 ⎪ ⎭ II. xx(a + bx n )ddu + x(c + ex n )dxdu + ( f + gx n )udx 2 ⎫ + 2µ x(a + bx n )dxdv − µµ(a + bx n )udx 2 ⎪ ⎬ = 0. − µ (a + bx n )vdx 2 ⎪ + µ (c + ex n )vdx 2 ⎪ ⎭ Euler cherche les fonctions u et v sous forme de séries, en posant v = Ax λ + Bx λ +n + Cx λ +2n + Dx λ +3n + etc., u = x λ + x λ +n + x λ +2n + x λ +3n + etc. Il est conduit à un système “croisé” déterminant simultanément λ, µ et les coefficients. Après la tentative plutôt maladroite de Taylor (cf. 1.4.3), Euler est sans doute celui qui a le plus fait pour étendre aux systèmes les différentes techniques d’intégration approchée qui se mettent en place progressivement au 18 e siècle. Nous le voyons ici appliquer à un système la méthode des séries ; nous le verrons plus loin étendre la méthode polygonale (cf. chap. III) et la méthode des approximations successives (cf. chap. IV). 2.2. Recherches balistiques Un volume entier des Opera omnia d’Euler est consacré à la balistique. L’étude de deux passages d’un traité d’artillerie de 1745 48 permettra de savoir comment le mathématicien suisse utilisait les séries dans les applications. 2.2.1. Un problème de balistique intérieure Dans le premier chapitre (pp. 177-185), Euler s’intéresse à ce qui se passe dans un canon après l’inflammation de la poudre. A E F C Z z M m N n B A E F C Z z M mN n B Fig. II.4. L’intérieur d’un canon vu par Euler (1745) Une quantité de poudre AACC a été placée au fond du canon AABB. Euler fait l’hypothèse de la combustion instantanée de la poudre et suppose que, à l’instant initial, la réaction chimique dégage un volume EEFF de gaz comprimé occupant la partie centrale du volume AACC, tandis que les matières 48 Neue Grundsätze der Artillerie, Berlin, 1745 ; Opera omnia, s. 2, vol. 14.
Chapitre II 89 résiduelles se répartissent également entre AAEE et FFCC. En se détendant, le gaz comprimé va communiquer au cylindre FFCC un mouvement de translation qui va propulser le boulet vers l’extérieur du canon. Au bout d’un certain temps, le gaz comprimé EEFF occupe le nouveau volume EEMM. Euler pose EM = x et note v la vitesse acquise par le disque avant MM (avec des unités convenables, v représente la hauteur de laquelle un corps pesant doit tomber pour acquérir la même vitesse). En supposant, pour commencer, qu’il n’y a pas de boulet dans le canon, Euler montre que v est relié à x par l’équation différentielle (1) (m + (α − 1)n)bdv 2α dx ( ) 2 = 1 − 3 1 − mb α qx 3 1 − 1 − 1 q ( ) 2 β h − h − v , dans laquelle b = AC, α = AC EF, h représente la pression de l’air extérieur et m, n, q, β sont des paramètres liés à la nature de la poudre (ces paramètres traduisent, directement ou indirectement, la densité initiale de la poudre, les densités du gaz comprimé et de la matière résiduelle après la combustion, et l’échauffement dû à cette combustion). Le problème est de calculer, à partir de cette équation, la vitesse acquise à la sortie du canon, c’est-àdire la valeur de v lorsque x = EB = a, sachant qu’à l’instant initial, on a x = EF = b α et v = 0. Pour faciliter le calcul, Euler néglige le dernier terme v du second membre et remplace le dénominateur 1 − ( 1 − 1 q) 3 2 par 3q 2 , ce qui est pleinement justifié par la valeur numérique de q (q = 800). Le second membre est alors développé en série : (m + (α − 1)n)bdv 2α dx = 3qβh 2 ( ) 2 ⎛ 3 ⎜1 − 1 − mb α ⎝ qx ⎞ ⎟ − h ⎠ puis intégré terme à terme (l désigne le logarithme népérien) : (m + (α − 1)n)b 2α ⎛ = βh mb α x + m2 b 2 6α 2 qx + 2m3 b 3 2 27α 3 q 2 x + 7m 4 b 4 3 162α 4 q 3 x + etc. ⎞ ⎜ ⎟ − h, ⎝ 4 ⎠ ⎛ v = βh⎜ mb ⎝ α l α x b + m2 b 6αq − m2 b 2 6α 2 qx + etc. ⎞ ⎟ + hb ⎠ α − hx. Euler ne soulève pas la question de la convergence de la série, mais il n’y a pas de problème car, sur l’intervalle d’intégration ( b α ≤ x ≤ a), on a toujours mb α qx ≤ 1 2 , compte tenu des valeurs numériques des constantes. À partir de ces mêmes valeurs numériques, il apparaît que les derniers termes sont négligeables devant le premier, ce qui permet à Euler d’exprimer une valeur approchée de v pour x = a par la formule finale très simple v = 2β mh m + (α − 1)n l αa b . Euler traite ensuite un exemple numérique : pour α = 2, β = 4, a = 1419 32, b = 21 8, h = 29100, m = 400, n = 1000, il trouve v = 15302. Le calcul est difficile à suivre pour un lecteur moderne car, d’une part, il intervient des unités de mesure “exotiques”, telles le “Englische Zoll” (le pouce anglais) ou le “Rheinl. Schuh” (le pied rhénan) et, d’autre part, la même lettre l, qui désignait le logarithme népérien dans les calculs littéraux, désigne le logarithme décimal dans les calculs numériques. Une fois ces pièges déjoués, nous avons pu calculer une valeur très précise de v à partir d’une intégration numérique directe de l’équation (1) par la méthode de Runge-Kutta, sans aucune hypothèse simplificatrice ; nous avons trouvé v = 15186,3. On constate que, par une méthode en apparence très grossière, Euler a commis une
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