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96 Chapitre II
3. Un foisonnement d’algorithmes infinis
Nous venons de voir comment est née la méthode des séries et comment, grâce à Euler, elle est, pourrait-on
dire, sortie de l’enfance. De façon plus précise, nous avons suivi jusqu’ici les prolongements de
l’idée initiale de Newton, c’est-à-dire le développement de toute fonction selon les puissances de la variable
indépendante, puissances positives ou négatives, entières ou fractionnaires. Pourtant, dans la
seconde moitié du 18 e siècle et au début du 19 e siècle, ce type de développement ne suffit plus à répondre
aux besoins. Pour diverses raisons, pratiques ou théoriques, les mathématiciens font appel à d’autres algorithmes
infinis : séries trigonométriques, fractions continues, etc. Avant d’aborder la question fondamentale
de la convergence des séries, qui caractérise la naissance de l’analyse moderne, on ne peut éviter
d’ouvrir une grande parenthèse sur la façon dont ces nouveaux algorithmes infinis, promis à des avenirs
plus ou moins féconds, ont été utilisés pour l’intégration des équations différentielles.
3.1. L’emploi des séries trigonométriques par Euler
Les phénomènes astronomiques étant souvent périodiques, il peut sembler naturel de résoudre les
équations de la mécanique céleste par des séries trigonométriques. Euler est l’un des premiers à avoir
emprunté cette voie, qui le conduisit ultérieurement à des travaux théoriques généraux sur le développement
des fonctions en séries trigonométriques. Parallèlement, les mêmes séries apparaissaient à propos
des équations aux dérivées partielles de la physique mais, du moins au début, les deux lignées de recherches
semblent indépendantes. En mécanique céleste, le principe général adopté par Euler pour l’emploi
des séries trigonométriques est analogue à celui que Newton avait édicté pour les séries de puissances
: développer en séries trigonométriques les seconds membres des équations, puis chercher un développement
des solutions sous la même forme. Nous allons rapporter brièvement les premiers exemples
d’application de ce principe, tels que nous avons pu les identifier dans les Opera omnia.
3.1.1. Le mouvement général des corps célestes (1747)
En 1747, Euler cherche à mettre au point une théorie générale du mouvement des corps célestes 52 . Il
s’intéresse notamment au mouvement d’un corps attiré vers un point fixe par une force centrale ne dépendant
que de la distance. Sous cette hypothèse, le temps t et les coordonnées polaires r et ϕ du corps mobile
sont reliés par le système d’équations différentielles
(1)
⎧ dt =
⎪
⎨
dϕ =
⎩⎪
rdr
Brr − AA − rrR
Adr
r Brr − AA − rrR ,
52 “Recherches sur le mouvement des corps célestes en général”, Mémoires de l’académie des sciences de Berlin, 3, 1749
(1747), pp. 93-143 ; Opera omnia, s. 2, vol. 1, pp. 1-44.