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62 Chapitre II
Prenant donc ce Terme & le substituant au lieu de y, j’ai – xx & − x 3 qu’il faut ajouter respectivement
aux Termes + x et + xx, écris vis-à-vis de y & yx. Je prends de même les plus bas Termes + xx – xx + xx,
de la Somme xx desquels &c. je tire le troisième Terme + 1 3 x3 , de la Valeur de y, & après l’avoir substitué
&c. je tire des plus bas Termes 1 3 x3 & − x 3 ; le quatrième Terme − 1 6 x 4 . Ce que l’on peut continuer aussi
longtemps qu’on le jugera à propos.”
Ce procédé pour “extraire” la fluente y, terme après terme, est tout à fait analogue à celui utilisé au
début du traité (pp. 6-7) pour extraire une racine d’une équation numérique. Nous pouvons l’analyser
comme un schéma itératif, en interprétant le calcul de Newton de la façon suivante : prenons y 0
= 0
comme première approximation de l’équation différentielle y ′ = 1 − 3x + x 2 + (1 + x) y ; en substituant
dans le second membre, on obtient y ′ = 1 − 3x + x 2 , puis, en négligeant les termes d’ordre supérieur ou
égal à 1, y ′ = 1, d’où la nouvelle approximation y 1
= x ; en substituant à nouveau, on aboutit à l’équation
y ′ = 1 − 2x + 2x 2 , qui, par suppression des termes d’ordre supérieur ou égal à 2, s’écrit plus simplement
y ′ = 1 − 2x, d’où l’approximation y 2
= x − x 2 ; et ainsi de suite.
Les trois autres équations sont traitées de la même manière, moyennant des calculs évidemment un peu
plus compliqués. On peut voir dans cette version de la méthode des séries la première mise en œuvre de la
méthode des approximations successives pour la résolution des équations différentielles, méthode dont
nous suivrons les développements ultérieurs tout au long du chapitre IV. Par cet algorithme, Newton est
convaincu d’avoir complètement résolu le problème inverse des tangentes. Il écrit, sûr de lui (p. 39) :
“Ainsi j’ai donc achevé ce Problème épineux & le plus difficile de tous les Problèmes [par une] Méthode
générale dans laquelle j’ai compris toutes les Difficultés.” Bien entendu, une telle solution ne saurait
aujourd’hui nous satisfaire, ainsi que le souligne ironiquement Poincaré en résumant l’histoire de la
découverte de Newton 7 : “On raconte que Newton communiqua à Leibniz un anagramme à peu près
comme ceci : aaaaabbbeeeeii, etc. Leibniz, naturellement, n’y comprit rien du tout ; mais nous qui avons
la clef, nous savons que cet anagramme veut dire, en le traduisant dans le langage moderne : «Je sais
intégrer toutes les équations différentielles», et nous sommes amenés à nous dire que Newton avait bien
de la chance ou qu’il se faisait de singulières illusions.” En effet, Newton se contente de fournir un algorithme
permettant d’extraire les premiers termes d’une série vérifiant formellement l’équation. En général,
ces termes se succèdent sans obéir à aucune loi, ce qui fait qu’il est absolument impossible d’en déduire
quoi que ce soit concernant le comportement de la solution.
Suivent quelques autres équations, destinées à présenter des variantes et des compléments (remarquons
la simplification des écritures : la fluxion ẋ est prise pour unité, ce qui permet de remplacer ẏ ẋ par ẏ) :
(5) ẏ = 1 y − xx
(6) ẏ = 3 − 2y − yy
x
(7) ẏ =−y + 1 x − 1 xx
Newton montre comment résoudre ces équations directement, sans les préparer. Pour l’équation (7), il
introduit des exposants négatifs dans l’expression en série de la solution.
7 Science et méthode, Flammarion, Paris, 1908 ; rééd. 1920, p. 33.