Document d'accompagnement

À PROPOS DE L’ARITHMÉTIQUEL’ambition première de cette partie du programme est de consolider les connaissances des élèves sur les nombres entiers :- des connaissances en rapport avec l’histoire des mathématiquesIl a fallu des millénaires pour que les hommes mettent au point, très récemment par rapport à l’évolution historique, le système de numérationdécimal de position qui nous paraît aujourd’hui si naturel. Son efficacité et son économie de moyens sont remarquables même si sa complexitémathématique est grande. Il est important pour des élèves littéraires de prendre conscience que des objets mathématiques aussi élémentaires ontune histoire, liée à la culture et à l’évolution économique des civilisations qui nous ont précédées, histoire non close puisque l’utilisation de labase deux et de la base hexadécimale en informatique est tout à fait récente.- des connaissances relatives aux concepts mathématiquesS’il n’est pas question de présenter ni de démontrer sous sa forme générale, le théorème fondamental de la numération, (Etant donné un entiernaturel b, b ≥ 2 , on peut écrire de manière unique tout entier naturel sous la forme d’une somme de puissances de b, chacune d’entre ellesmultipliée par un entier naturel inférieur à la base), les élèves doivent avoir compris la genèse du système de numération de position.Ils doivent aussi être capables d’utiliser l’écriture d’un nombre pour prouver des propriétés de ce nombre, comme certains caractères dedivisibilité, ou expliquer des phénomènes curieux sur les nombres entiers. On leur demande également d’être capables de faire la différenceentre une propriété intrinsèque au nombre (comme être divisible par 9) et la façon dont cette propriété se traduit sur l’écriture du nombre dansune base.Enfin, le questionnement que l’on peut mener avec les élèves sur la confusion chiffre / nombre, courante dans le langage usuel, fournit uneoccasion d’expliciter certaines exigences propres au langage mathématique.La décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers est un théorème fondamental dans ce programme, puisqu’on ne dispose pas duthéorème de Gauss. Ce théorème n’est pas un exigible du programme de seconde. Cependant la plupart des élèves ont déjà résolu des exercicesoù la décomposition en produits de facteurs premiers était demandée ou utilisée. Ils peuvent constater dans les faits l’existence et l’unicité decette décomposition. Aucun exposé théorique ne doit être fait pour le démontrer, il s’agit seulement d’en donner un énoncé clair afin qu’il puisseêtre disponible en tant qu’outil.Cette partie du programme a également une ambition de formation. Elle offre un terrain très favorable à l’apprentissage du raisonnement, àl’acquisition de compétences élémentaires de logique et à la mise en œuvre de quelques algorithmes.1. Écriture des entiers naturels1.1. A propos des numérations non positionnellesPour permettre aux élèves d’identifier l’efficacité du système décimal de position, le programme préconise une confrontation modeste à d’autressystèmes de numération.Par exemple,• partir de l’écriture de plusieurs nombres dans un même système, et de la donnée de ces nombres dans l’écriture usuelle, et demanderd’écrire de nouveaux nombres. Il peut être intéressant de ne pas fournir tous les symboles nécessaires (en prévenant les élèves) de manière à cequ’ils réfléchissent aux informations supplémentaires à demander.Exemple de la numération égyptienne :Numération égyptienneNumération usuelle530200203? 100025? 2395• guider l’étude comparative avec le système décimal de position par un questionnement tel que :- pourquoi, dans notre numération, n’y a-t-il pas de symbole pour dix, cent, mille ?- pourquoi utilisons-nous un 0 à la différence de la numération présentée ?- que se passe-t-il si on change l’ordre des symboles dans l’écriture des nombres ?- la longueur de l’écriture du nombre permet-elle la comparaison des nombres entiers? dans notre numération ? dans la numérationégyptienne ?• demander aux élèves (après avoir étudié une numération additive comme la numération égyptienne) de proposer des améliorations ausystème d’écriture, pour raccourcir la longueur des nombres. Par comparaison avec notre système, ils peuvent proposer l’invention de nouveauxchiffres, qui ajoutés aux symboles des puissances de dix conduisent à une numération hybride, comme la numération chinoise, qu’il peut êtreintéressant de présenter et de mettre en relation avec notre numération orale. Ces deux systèmes, écriture avec des chiffres et désignation orale,qui sont utilisés constamment dans la vie courante, sont de fait très différents, mais il n’est pas évident que tous les élèves s’en soient renduscompte.• Faire effectuer le calcul d’une addition ou d’une soustraction dans une de ces numérations, ce qui en montre la complexité et justifiel’emploi généralisé des abaques ou des bouliers.Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – logique – page 1Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements1