Document d'accompagnement

Dans ce qui suit, c’est cette dernière terminologie qui est utilisée et, pour faciliter l’étude, c’est l’espace tout entier qui est considéré. En outre, leplan du tableau est supposé vertical (ce qui est de loin le cas le plus fréquent dans les arts graphiques). Enfin, comme en première, l’image d’unpoint sera notée par la lettre minuscule correspondante.3.2. Propriétés de la perspective centrale1) Y a-t-il des points qui n’ont pas d’image ?D’après la définition, ce sont les points M tels que (OM) est parallèle à T. Ce sont donc les points du plan T O défini ci-dessus.2) Quelle est l’image d’une droite D ?L’exploration (faire pivoter D autour du point O) permettra de remarquer que :- si D est incluse dans T O , elle n’a pas d’image ; sinon, tous ses points ont une image, sauf son intersection éventuelle avec T O ;Les droites situées dans T O n’ont pas d’imageLe point M a pour image m.Le point I est sa propre image.Le point P n’a pas d’image.- si D passe par O, alors son image se réduit au point d’intersection de Davec le plan du tableau (si ce point existe).- dans les autres cas, toutes les images des points de D sont alignées surune droite d, qui est l’intersection du plan du tableau avec le plan définipar O et D (plan que nous notons (O, D)) ;La droite D perce le plan T en I et le plan T O en P.La droite d est parallèle à (OP).Tous les points de d sont-ils l’image d’un point de D ?Soit n un point de la droite d. Il est l’image du point N de la droite D quiappartient à la droite (On). Donc le point N existe si –et seulement si– les droitesD et (On), qui sont toutes deux dans le plan (O, D), sont sécantes.Conclusion : il y a un seul point de d qui n’est pas image d’un point de D ; c’estl’intersection x du plan du tableau T avec la parallèle à D passant par le point devue O.Remarques :1- On peut observer (grâce à un logiciel de géométrie, par exemple) que, plus le point N s’éloigne sur D (dans un sens ou dans l’autre), plus sonimage n se rapproche du point x. C’est pourquoi on dit parfois que le point x est l’image du point à l’infini de la droite D. Cette étudeSérie L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – géométrie – page 13Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements