Document d'accompagnement

Le contrôle numérique est simple : R (4,5)=T (4,5).Le triangle ABE et le rectangle ABCD peuvent donc avoir même aire. Cela se produit lorsque AB=4,5. On a une solution.Nouvelle question : Y-a-t-il d’autres solutions ?L’égalité R( x) = T ( x) s’écrit − x 2 + 6x = 1 2 x 36 − 6x . Résoudre une telle équation nécessite une transformation, puis la résolution d’uneéquation du second degré. Il faut pour fournir une réponse correcte tenir compte des contraintes que le problème impose à la variable x.LOGIQUECette activité offre la possibilité de faire la distinction entre “avoir une, des solutions de …” et “avoir les solutions de …”.Trouver une valeur numérique de la variable qui assure l’égalité ne signifie pas que l’équation soit résolue.ALGORITHMIQUEDes problèmes pour lesquels une résolution algébrique serait délicate peuvent donner lieu à l’élaboration d’unalgorithme fournissant une solution approchée.CLASSE TERMINALEEcriture décimale des nombres réelsLe programme propose de compléter les acquis des élèves sur les suites essentiellement dans le but de poursuivre l’étude des nombres. Il s’agiten classe terminale de compléter la connaissance des nombres rationnels. On se limitera à l’étude des nombres positifs.Ecriture décimale d’un nombre rationnelLa définition donnée en classe de sixième de l’écriture fractionnaire ba (a et b étant deux entiers naturels avec b non nul) est : ba est le nombrequi multiplié par b donne a autrement dit ba est le résultat de la division décimale de a par b.Dans certains cas les élèves ont pu reconnaître des nombres familiers depuis le cycle 3. C’est le cas par exemple de 25 . Un travail conduit dèsla classe de sixième consiste à écrire 5 = 2× 2 +1. Le reste de la division euclidienne de 5 par 2 peut s’écrire 10 dixièmes soit encore 2 × 5dixièmes. Donc le nombre qui multiplié par 2 donne 5 est le nombre décimal 2 et 5 dixièmes : 25 = 2,5.5 est un nombre décimal. Il a une écriture décimale.2Mais ils ont eu l’occasion de réaliser que les choses ne sont pas toujours aussi simples en particulier si l’on considère des nombres tels que 32 .2 = 20 dixièmes or 20 = 3× 6 + 2 donc 2 = 3× 0,6 + 0,2 . 32 n’est pas égal au nombre décimal 0,6.0,2 = 20 centièmes donc 2 = 3× 0,6 + 3× 0,06 + 0,02. 32 n’est pas égal au nombre décimal 0,66.On pourrait poursuivre le processus aussi longtemps que l’on veut, on serait toujours dans l’incapacité de produire un nombre décimal dont leproduit par 3 est égal à 2.Ces calculs montrent clairement que 2/3 n’a pas d’écriture décimale.Et pourtant lorsque l’on effectue la division décimale de 2 par 3 le reste est toujours de la forme 2×10 − npeut donc toujours se transformer sous la forme 3×6×10effectuant la division décimale de 2 par 3 sont toujours des 6.(avec n entier naturel) et ce reste−n−1 −n−1+2×10 . Donc les chiffres de la partie décimale que l’on obtient enCela peut donner l’envie d’écrire 32 = 0,6666….. à condition de donner du sens aux points de suspension dans cette écriture. Mais quelsens mathématique donner à l’écriture 0,6666…?Seules les connaissances de terminale permettent de répondre :0,6666.... = 6 × (10 −1 +10 −2 +10 −3 +10 −4 + ....) , égalité que l’on peut interpréter par0,6666…. = limn ⎯⎯→ +∞−1−2−n6× ( 10 + 10 + ... 10 )Une question subsiste : Cette limite est-elle bien égale à 32 ?Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – analyse – page 6Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements