Document d'accompagnement

Méthode 1On peut écrire-6 −12 −18 −61,875614875614=1+875614(10 + 10 + 10 + ...10 n + ...)Or l’expression entre parenthèses est une somme infinie de termes d’une suite géométrique de raison10 - 6 .-6 −12 −18 −6n-6 -12 -18 -6nPosons S =(10 + 10 + 10 + ...10 ) On a donc S=10 +10 +10 +...+10 +...= lim S nnn→+∞+ + + ligne 1-6 −12 −18 −6nSn=(10 10 10 ...10 )10 S =(10 + 10 + 10 + ...10 ) ligne 2-6 -12 − 18 − 24 − 6( n + 1)n_________________________________________-6 -6 6( n 1)S 1-10 =(10 − 10 − + )ligne 1 – ligne 2n( )n10 −10et enfin : S = lim 1 10−6−−6 − 6( + 1)et comme− 6( n+1)lim 10 = 0n→+∞on obtient :−6 − 6 + 610 10 10 1 1−6 − 6 + 6 61 10 1 10 10 10 1S = = × = =− − − 999999En remplaçant on obtient :1 999999 + 8756141,875614... = 1+ 875614× = 999999 999999Méthode 21,875614875614…= 1 + 0, 875614875614…posons P = 0, 875614875614…10 6 P = 875 614,875614… D’où P (10 6 – 1 ) = 875 614finalement P =875 614999 999et 1,875614875614…= 1 +875 614999 999La démonstration dans le cas général n’est pas à faire avec les élèvesLOGIQUEL’étude succesive de ces deux propriétés, réciproques l’une de l’autre, permet d’obtenir une propriété quicaractérise les nombres rationnels, et donc aussi une propriété qui caractérise les nombres irrationnels.Fonctions exponentiellesLe programme suggère d’introduire une fonction exponentielle comme prolongement d’une suite géométrique de raison strictement positive etde premier terme 1.Le problème du prolongement des suites étudiées dans le programme mathématique et informatique de première peut être posé : le nuage depoints représentant une suite arithmétique est inclus dans la courbe représentative d’une fonction affine, celui représentant une suite àdifférences secondes constantes dans la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré. Que se passe-t-il pour une suitegéométrique ?Il s’agit de mettre en euvre une démarche permettant de faire comprendre aux élèves comment on peut passer du discret (suite géométrique deraison strictement positive q) au continu (fonction exponentielle de base q) en plusieurs étapes.Deux démarches sont envisageables :− Effectuer un passage de N à Z afin de pouvoir définir des “suites géométriques généralisées” sur Z et non pas seulement sur N, puis mettreen place un processus dichotomique.− Mettre d’emblée en place en processus dichotomique, construire ainsi une fonction sur R + puis effectuer le prologement à R.Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – analyse – page 8Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements