Document d'accompagnement

2Leohnard Euler(1707-1783) a trouvé que “les nombres qui s’écrivent sous la forme n + n+ 41 avec n entier naturel quelconque comprisentre 0 et 39 sont premiers”Christian Goldbach (1690-1764) a conjecturé que : « tout nombre entier pair supérieur à deux s’écrit comme somme de deux nombrespremiers ». La conjecture de Goldbach n’est toujours pas prouvée.Marin Mersenne (1588-1648) a introduit les nombres qui portent son nom à l’occasion de ses recherches sur les nombres parfaits. Ce sont lespnombres qui s’écrivent sous la forme Mp= 2 − 1 avec p entier naturel. Mersenne savait que : “si Mpest premier alors p est premier”. On peutfaire vérifier aux élèves que la réciproque est fausse.(contre-exemple : M11n’est pas premier)La recherche des nombres de Mersenne qui sont premiers continue encore aujourd’hui, on en trouve chaque année de nouveaux.Même des non- mathématiciens se sont intéressés aux nombres premiers : Marcel Pagnol a fait la proposition suivante (qui est fausse !) :« Si n et n + 2 sont deux nombres impairs alors n + (n+2) + n(n+2) est un nombre premier. »2.4. Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers ALGORITHMIQUEL’objectif de ce programme ne consiste pas à faire avec les élèves de L un exposé théorique, ni de se contenter de faire utiliser des résultats engommant les problèmes sous-jacents.En particulier le problème de l’existence, qui ne peut être résolu dans le cas général, doit être posé clairement aux élèves.Les élèves savent déjà produire pour quelques nombres donnés une telle décomposition. Mais est-on sûr qu’on pourrait le faire pour n’importequel nombre ?Pour sensibiliser au problème de l’existence d’une telle décomposition on peut présenter un algorithme qui permet d’obtenir une telledécomposition, quel que soit le nombre donné initialement. Cet algorithme est complexe. Il repose sur la connaissance de tous les nombrespremiers inférieurs ou égaux à ce nombre n. On ne demande pas aux élèves de l’élaborer par eux-mêmes mais de comprendre ce qu’il produit.Algorithme écrit en langage naturelEntrer la valeur de n, la liste { p 1 ; p 2 …. p k } des nombres premiers inférieurs ou égaux à n, la liste L est vide, et l’entier mest égal à 1.Test N°1N est-il divisible par p m ?si oui• entrer p m dans la liste L• Test N°2:Nest-il supérieur strictement à 1 ?p msi oui remplacer N parNp mrecommencer le test n° 1si non aller à l’affichagesi nonAfficher la liste L.• ajouter 1 à m• recommencer le test N°12.5. Quelques activités sur les nombres entiers et leurs diviseurs, utilisant leur décomposition en produit de facteurspremiersExiste-t-il des carrés d’entiers qui soient le double d’autres carrés d’entiers ? LOGIQUELa recherche peut se faire à partir des listes de carrés des entiers, jusqu’à 30 ou 50, en utilisant éventuellement le tableur.Le problème rencontré par les élèves est qu’ils ne trouvent pas d’entiers qui satisfont à la condition donnée. La seule issue est de formuler un« candidat théorème » qui serait : « aucun carré parfait n’est le double d’un autre carré parfait ».Il existe plusieurs démonstrations de ce résultat, qui revient à prouver l’irrationalité de 2 .L’une des plus accessibles dans le cadre du programme d’arithmétique proposé est d’utiliser la décomposition en produit de facteurs premiersd’un carré d’entier, dont tous les exposants sont forcément pairs et sont les seuls à l’être.2 2Un raisonnement par l’absurde peut alors être construit : s’il existait deux entiers p et q tels que p = 2q, la décomposition en produit defacteurs premiers de22 q ,c’est à dire de2p comporterait un exposant impair, celui du facteur 2, ce qui rend impossible le fait que2p soitSérie L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – logique – page 7Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements7