Document d'accompagnement

•17Ou bien α+ 1= 18 mais 2 > 200•8Ou bien α+ 1 = 9 et β + 1 = 2 alors N = 2 × 3 qui est plus grand que 200.•5 2Ou bien α+ 1 = 6 et β + 1 = 3 alors N = 2 × 3 qui est plus grand que 200.•2 2Ou bien, au mieux α+ 1 = 3 , β + 1 = 2 et δ +1=3 dans ce cas N = 2 × 3× 5 qui est également plus grand que 200.- Montrer que si un entier n admet un nombre impair de diviseurs alors c’est un carré parfaitSi un entier naturel n a un nombre impair de diviseurs alors le produit « ( a+ 1)( b+ 1)( c+ 1 )....» est un nombre impair, or pour qu’un produitde nombres entiers soit impair tous les facteurs doivent être impairs.Pour que, par exemple, a + 1 soit impair il est nécessaire que a soit pair .La décomposition de l’entier n en produit de facteurs premiers montre alors que le nombre n est bien un carré.Une autre méthode consiste à remarquer que les diviseurs vont toujours par deux : les paires de nombres entiers dont le produit est égal à l’entiern, or si le nombre de diviseurs est impair il y en reste un qui est tout seul : c’est celui qui multiplié par lui-même est égal au nombre n, maismultiplié par lui-même signifie qu’on l’élève au carré !2.6. Diviseurs communs à deux entiers naturelsComme les élèves disposent à présent d’une stratégie permettant de générer tous les diviseurs de A et tous les diviseurs de B ils peuvent trouverque les diviseurs communs à A et B s’obtiennent en multipliant entre eux les facteurs premiers communs aux décompositions de A et de B,chacun de ces facteurs étant élevé à une puissance au plus égale à la plus petite des puissances de ce facteur dans chacune des décompositionsdes nombres A et B.Le PGCD de A et B est le plus grand élément de la liste. Sa décomposition respecte la propriété ci-dessus.Le théorème : « Un entier naturel est un diviseur commun à A et à B si et seulement s’il divise le PGCD de A et de B. » peut facilement êtredémontré en s’appuyant sur la propriété ci-dessus.BibliographieDELAHAYE Jean Paul (2000), « Merveilleux nombres premiers » Ed Belin, collection Pour la scienceIFRAH Georges (1985), « Les chiffres ou l’histoire d’une grande invention », Ed R. LaffontKORDIEMSKY B. 1963 « Sur le sentier des mathématiques 1 & 2 » Ed DunodSURATTEAU Daniel / HAUCHECORNE Bertrand (1996) « Des mathématiciens de A à Z », Ed EllipsesDe très nombreux sites, qu’il est impossible de citer, proposent des informations sur l’histoire des numérations, sur les nombres premiers, etc.Un texte comportant des informations complémentaires sur les numérations dont un bref panorama de l’histoire des numérations, est fourni surle CD-ROM, sous le titre « Quelques compléments à propos de numération ».Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – logique – page 9Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements9