Document d'accompagnement

GÉOMÉTRIELe problème de la représentation plane de l’espace relève du patrimoine culturel de l’humanité, et s’est posé partout, dans le domaine graphique.Une question –même si ce n’est pas la seule– s’est sans aucun doute posée dès qu’Homo sapiens a commencé à dessiner : celle de lacommunication, c’est-à-dire de la recherche de modes de représentation susceptibles de permettre au spectateur d’identifier ce qu’a voulureprésenter l’auteur de l’œuvre ; cette question est même devenue primordiale dans le cas des dessins « techniques ».Il est important pour les élèves, appelés à vivre dans un environnement de plus en plus dominé par l’image, de savoir décoder –et pourquoi pasencoder ?- les représentations planes de l’espace. Qui plus est, certains domaines professionnels –comme l’architecture , la scénographie oul’archéologie– font grand usage de représentations variées de l’espace : vues, axonométries, perspectives… Il s’agit donc ici de donner auxélèves une culture de base relativement aux modes de représentation usuels de l’espace, en étudiant plus particulièrement ceux qui sont fondéssur la notion de projection sur un plan ; en effet, la perspective dite « cavalière » -qu’il est préférable d’appeler « parallèle » 1 - est courammentutilisée comme dessin technique en architecture et dans l’industrie, tandis que la perspective « à point de fuite », également très utilisée enarchitecture, a servi de fondement à tous les arts picturaux pendant plusieurs siècles.Comme nous l’avons dit, l’un des buts possibles assignés aux représentations de l’espace est de permettre au spectateur de se représentermentalement la situation spatiale 2 en jeu. Dans le cas du dessin on cherche, pour y parvenir, d’une part à produire un dessin qui « ressemble » àla vision qu’on peut (pourrait) en avoir habituellement, et d’autre part à préserver sur ce dessin certaines propriétés de la situation, de façon àfaciliter le passage de la situation à sa représentation et vice versa, c’est-à-dire l’écriture et la lecture du dessin. Ces deux soucis – qu’on pourraitappeler « visuel » et « géométrique » – sont le plus souvent antagonistes, et on est ainsi amené, par nécessité, à faire des choix destinés à lesconcilier « au mieux », selon le but recherché.Prenons l’exemple du dessin d’une pyramide régulière à base carrée « squelette » 3 :Le dessin de gauche est une représentation très fréquente chez les jeunes enfants (cycle 3 de l’école élémentaire et début du collège) : elleconserve beaucoup de propriétés géométriques de l’objet (base carrée, faces isocèles, symétries, etc.) mais ne se donne pas directement à lirecomme un dessin de pyramide (qui serait vue de dessus) : on y voit plutôt un objet plan (carré avec ses diagonales). A l’inverse, le dessin dedroite, représentation de type « photographique », est perçu 4 comme le dessin d’un objet de l’espace, mais peu de propriétés élémentaires y sontconservées, à part l’alignement. Entre ces deux cas extrêmes, on peut trouver des représentations très variées qui, tout en donnant uneimpression de relief, préserveront certaines propriétés de l’objet. La perspective parallèle (étudiée en classe de première) et la perspectivecentrale (étudiée en classe terminale) sont deux systèmes de représentation permettant de conjuguer, d’une façon jugée optimale eu égard auxobjectifs visés par la représentation, les deux soucis indiqués plus haut.Pour aborder l’étude de ces systèmes de représentation et aider les élèves à en comprendre les principes, le programme a choisi de se baser,d’une manière en quelque sorte métaphorique, sur l’étude du phénomène de l’ombre, qui fait partie de notre quotidien et peut donc être observéeà loisir : ombre « au soleil » en classe de première, ombre « au flambeau » en classe terminale. Les éléments sur lesquels porte cette métaphore –et les limites de celle-ci– sont précisés ; le passage de l’ombre à la perspective s’opère ensuite grâce à la notion (géométrique) de projection surun plan. La démarche suivie dans le programme peut donc être schématisée sous la forme suivante 5 :OMBREVISIONPROJECTIONSUR UN PLANPERSPECTIVE1 Pour des raisons qui seront précisées plus loin.2 Il peut, selon le cas, s’agir d’un objet ou d’un ensemble organisé d’objets.3 C’est-à-dire réduite à ses arêtes.4 Du moins par quelqu’un qui a déjà rencontré un tel objet.5Si le mot « vision » convient à la perspective linéaire, où on peut supposer un observateur –borgne– placé au point de vue, il n’est pas réellement adapté à laperspective cavalière, car il faudrait imaginer l’observateur à l’infini ; c’est donc par abus de langage –ou « passage à la limite » – que nous utilisons le mot« vision » dans les deux cas.Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – géométrie – page 1Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements