Document d'accompagnement

D’après ce qui vient d’être vu :- la droite d est l’intersection du plan du tableau et du plan (O, D)- la droite d’ est l’intersection du plan du tableau et du plan (O, D’).Les plans (O, D) et (O, D’) ont en commun le point O ; ils sont donc sécants ou confondus.S’ils sont confondus, il en va de même des droites d et d’ ; s’ils sont sécants, le « théorèmedu toit » nous dit que leur droite d’intersection D O est la parallèle à D (et à D’) passant parO.Deux cas sont alors possibles :- soit D O est parallèle au plan du tableau (ce qui signifie que D et D’ le sont), et alors d et d’ sont parallèles ;- soit D O perce le plan du tableau en un point I, et alors d et d’ se coupent en ce point.Conclusiona) les droites images de deux droites D et D’, parallèles entre elles et au plan du tableau, leur sont parallèles ;b) les droites images de deux droites parallèles D 'et D’ sécantes au plan du tableau sont sécantes en un point qui est l’intersection duplan du tableau avec la parallèle à D et D’ passant par le point de vue O.Conséquence : Soit une droite donnée D sécante au plan du tableau. Toutes les droites images des droites parallèles à D passent par un mêmepoint, appelé point de fuite de la droite D. On peut ici remarquer (voir plus haut) que le point de fuite est l’image du point à l’infini de D et detoutes les droites qui lui sont parallèles.N.B. : Le point de fuite des droites perpendiculaires au plan du tableau est appelé point de fuite principal. Ce point (que nous noterons ω, estdonc le projeté orthogonal du point de vue O sur le plan du tableau.5) Images de droites coplanaires.a) Soient des droites D, D’, D’’… parallèles à un même plan P. Onsuppose que toutes trois ont un point de fuite, respectivement f ,f’, f’’… Ceci impose que le plan P soit sécant au plan du tableau.On a vu que les points de fuite sont les intersections, avec leplan du tableau, des droites parallèles à D, D’, D’’… passant parO. Ces droites, d, d’, d’’ … sont incluses dans le plan Q, parallèleà P passant par O, et les points de fuite sont donc sur la droited’intersection de Q avec le plan du tableau (qui existe puisque Qest parallèle à P).Inversement, tout point de cette droite d’intersection est le point de fuite d’au moins une droite du plan Q (on peut la déterminer).Conclusion : les points de fuite de toutes les droites parallèles à un plan P constituent une droite, appelée ligne de fuite du plan P. Cette droiteest l’intersection du plan du tableau avec le plan parallèle à P passant par le point de vue.b) Soit P’ un plan parallèle à P. Alors le plan parallèle à P’ passant par O n’est autre que Q ; donc P’ a la même ligne de fuite que P.Conclusion : deux plans parallèles ont la même ligne de fuite.En particulier, toutes les droites horizontales ont leur point de fuite sur ladroite d’intersection du plan du tableau avec le plan horizontal passant parle point de vue. Pour cette raison, on l’appelle la ligne d’horizon.N.B. Le plan du tableau étant vertical, les droites qui lui sontperpendiculaires sont des horizontales, et par conséquent leur point de fuite(c’est-à-dire le point de fuite principal) est situé sur la ligne d’horizon.H est le plan horizontal passant par O.ω est le point de fuite principal..Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – géométrie – page 15Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements