Ces divers éléments se situent dans trois « mondes » différents : les phénomènes de l’ombre et de la vision se rattachent au monde physique,tandis que la perspective est une représentation de l’espace physique dessinée sur un support plan ; quant à la projection, elle appartient à unethéorie géométrique qui modélise à la fois l’ombre et la perspective.Cette entrée par l’ombre permet de donner du sens à la notion de représentation en perspective. Comme il s’agit simplement d’observer et denoter quelques propriétés de ce phénomène physique, il n’est pas nécessaire d’y consacrer trop de temps en classe : ce travail peut être entreprisà tout moment par les élèves, sous forme de travail personnel, et la synthèse, réalisée en classe à l’aide d’un « cube squelette », servant de pointde départ à l’étude géométrique de la perspective. On trouvera en Annexe des idées de matériels utilisables à cette fin.CLASSE DE PREMIÈRE : LA PERSPECTIVE PARALLÈLELa perspective parallèle propose un système de représentation comparable à un phénomène physique banal ; sa relative simplicité d’utilisation,comme l’intérêt des propriétés conservées, font que ce système constitue un véritable dessin technique, et non seulement une simple aidevisuelle, ce qui explique son utilisation quasi exclusive dans l’enseignement de la géométrie de l’espace. Réaliser un dessin correct consiste enfait à résoudre un problème de géométrie, permettant en outre –ce qui n’est pas si fréquent– un auto-contrôle relativement aisé sur la productionelle-même.Notons cependant qu’il ne s’agit pas de faire aux élèves un cours de perspective parallèle, mais d’observer que l’ombre au soleil d’un objet« squelette » est une image de cet objet (plus ou moins déformée) analogue à celles qui sont utilisées en géométrie de l’espace, et que certainespropriétés de l’objet (alignement, parallélisme, etc.) se retrouvent également sur son ombre. Sur la base de cette observation, on se proposeensuite d’étudier une modélisation géométrique de ce phénomène, dans le but de la définir comme perspective parallèle et, par contrecoup, decomprendre pourquoi les propriétés de l’ombre au soleil –et de la perspective parallèle – sont ce qu’elles sont. Ce qui permettra d’utiliser ledessin en perspective parallèle comme un dessin technique, et non plus comme un simple support visuel.N.B. Ce qui suit n’est pas un « cours type ». Il s’agit seulement d’un exposé raisonné, à destination des enseignants, des idées directricesfigurant dans le programme de la classe de première ; bien entendu, le professeur est tout à fait libre d’adopter une présentation et uneprogression différentes, dès lors qu’elles sont compatibles avec le programme.1. L’ombre au soleil (synthèse des observations personnelles faites par les élèves)Démarche. On commence par observer l’ombre au soleil d’un cube squelette sur un plan, dans le but de conjecturer quelques propriétés desombres portées ; pour les justifier, on réalise des dessins dans des plans qui seront précisés, dessins qui conduisent à un modèle géométrique etpermettent, le cas échéant, d’effectuer des démonstrations de géométrie plane.Puis on opère le passage de l’ombre au dessin et on poursuit l’étude des propriétés, que l’on applique à la résolution de problèmes de dessin.Idée de base. Une réalisation physique de la perspective parallèle est l’ombre d’un objet « squelette » portée par le soleil sur un plan. Objet« squelette » de référence : le cube (en relation avec le repérage orthonormal de l’espace). Dans un premier temps, on s’intéresse à l’ombre ausoleil d’un cube « squelette » (réalisé en tiges de bois, de métal, de plastique…), dans le cas particulier où celui-ci est posé sur un planhorizontal. Il s’agit ici de donner une modélisation géométrique de ce phénomène physique.N.B. : on suppose que le soleil n’est pas au zénith (ce qui est toujours le cas hors de la zone intertropicale). Les rayons solaires sont donc"obliques" (c’est-à-dire non verticaux).Notation : On désignera –sauf exception– les points de l’objet par des lettres majuscules, et leur ombre par la lettre minuscule correspondante.N.B. Les constatations ci-dessous s’appuient sur des dessins de géométrie plane, qui permettent de reconnaître des configurations déjàrencontrées au collège ; le but est de justifier le bien-fondé de certaines propriétés observées, il n’est donc pas utile de s’attacher ici à élaborerdes démonstrations formelles.1 ère constatation : La lumière se propage en ligne droite (rayons lumineux) et les rayons solaires tombant sur un objet sont parallèles.Nous ferons ici deux hypothèses de modèle :1° le soleil n’est pas une source lumineuse ponctuelle, mais nous l’assimilerons cependant à une source ponctuelle (cette hypothèse est justifiéepar le fait que le soleil est perçu de la Terre comme un « gros point » ayant seulement un demi degré de contour apparent) ;2° les rayons lumineux émanant d’un point du soleil divergent à partir de ce point, mais nous considèrerons ceux qui atteignent un objet commeparallèles (hypothèse justifiée par la taille infime des objets terrestres par rapport à la distance Terre-soleil).2 e constatation : L’ombre d’un segment est un segment.Sans en faire une démonstration formelle, on peut faire remarquer quetous les rayons « s’appuyant » sur un point du segment [AB] sont,comme celui-ci, dans le plan déterminé par les rayons extrêmes (Aa) et(Bb).Dessiner la situation dans ce plan : on reconnaît la situation de Thalès.N.B. : ceci exclut le cas où [AB] est parallèle aux rayons solaires :dans ce cas, l’ombre se réduit à un point.Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – géométrie – page 2Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements
Conséquences :1) les proportions sont conservées sur l’ombre du segment, et en particulier le milieu est conservé (on dit que l’ombre au soleil « conserve » lemilieu).2) l’ombre d’un segment horizontal est un segment qui lui est parallèleet qui a la même longueur.Conséquence : l’ombre d’un objet (plan) horizontal est « en vraie grandeur »., et les segments sont parallèles à leur ombre.3) Les ombres d’un segment sur deux plans horizontaux sont deuxsegments parallèles et de même longueur.Conséquence : les ombres de deux objets (plans) horizontaux sur deuxplans parallèles sont identiques.Application : Dessin de l’ombre du cube sur le plan où il est posé.La face inférieure A’B’C’D’ coïncide avec son ombre a’b’c’d’, etl’image de la face supérieure du cube est un carré « translaté » de laface inférieure.D’où le dessin de l’ombre de cube sur le sol.N.B. On a ici supposé que le soleil n'est pas très haut et très à droite.Remarque : le matin et le soir, l’ombre du cube est plus longue qu’en milieu de journée, mais l’ombre des faces supérieure et inférieure nechange pas de taille ; c’est uniquement l’ombre des faces latérales qui s’allonge. Exemples :soleil au zénith2. De l’ombre au dessinLes dessins ci-dessus de l’ombre d’un cube, et en particulier celui de gauche, peuvent se « lire » comme des dessins d’un cube. Mais cettelecture est ambiguë, comme on s’en rend compte si l’on suppose que le cube n’est pas « squelette », mais « plein » (opaque) ; dans ce cas, ledessin est du type du dessin de gauche, dans lequel trois arêtes ne sont pas visibles (car leur ombre est masquée par l'ombre des faces quis'interposent entre ces arêtes et le soleil), mais lesquelles ? Deux interprétations sont possibles :Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – géométrie – page 3Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements
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