Document d'accompagnement

2x −1Pour f, telle que f(x)= , l’image de x, qui Lorsquex − 22x −1est semble graphiquement ne jamais prendre lax − 2valeur 2, on peut le vérifier si nécessaire en résolvantl’équation correspondante. On peut donc avoir l’idéed’écrire cette expression algébrique sous la forme « 2 plusquelque chose qui ne s’annule pas ».Or, pour tout nombre réel distinct de 2,3f(x)− 2 = , d’où la transformation souhaitée.x − 2f (x) = x −1la lecture est plus délicate. Mais il3x− 6est possible d’écrire x −13x − 6 = 1 3 × x −1 et constaterx − 2graphiquementx −1 semble ne jamais prendre lax − 2valeur 1. On peut le vérifier en résolvant l’équationcorrespondante.x −1Le calcul de −1 permet finalement d’écrirex − 2f(x)= 1 3 × ⎛ 1⎜⎝ x − 2 +1 ⎞⎟⎠LOGIQUELa transformation des expressions algébriques et la résolution d’équations offre une occasion pertinente detravailler avec les élèves les différents sens du symbole égalité et d’expliciter les quantifications universelleou existentielle sous jacentes.Effet de certaines fonctions sur l’ordreOn gardera l’esprit voulu par le programme de seconde.Une fonction croissante sur un intervalle est une fonction qui conserve l’ordre.2x−13Ainsi par exemple la transformation de sous la forme 2 + et la connaissance du sens de variation des fonctions de référencex − 2x − 212x−1x a x − 2 , x a et x a 3 x + 2 permettent d’obtenir le sens de variation de la fonction x a sur ] −∞ ; 2[ et sur ]2; + ∞ [.xx − 2C’est de la même manière que, en fin de cycle terminal, les élèves pourront déduire les variations de fonctions de la forme x a ln(u(x))oux a exp(u(x)) de la connaissance des variations de la fonction u sans avoir recours à la dérivation de la fonction composée.DérivationLe programme préconise de donner durant l’année plusieurs visions du nombre dérivé, la cohérence entre ces différentes visions doit être miseen évidence.1 - Vision cinématiqueLe compteur d’une voiture indique la vitesse instantanée du véhicule à chaque instant et cette vitesse varie en fonction du temps. On peutparcourir une distance de 10 km à la vitesse moyenne de 45 kmh –1 bien que la vitesse ne soit pas constante tout au long du trajet.Problème : comment trouver la vitesse instantanée quand on connaît une expression de la distance en fonction du temps :- ou bien à un instant précis ? ( c’est le point de vue local )- ou bien à un instant t , quel qu’il soit ? (c’est le point de vue gobal de détermination de la fonction dérivée )Exemple de situation :Une bille est lâchée à 50 m du sol. Des relevés de mesures ont permis d’établir que la distance parcourue, en mètres, à l’instant t mesuré ensecondes, est 4,9 t 2 . Soient d et v les fonctions distance parcourue et vitesse instantanée. Comment déterminer v(3) ? puis v(t) ?Point de vue local :On peut approcher v(3) à partir de la vitesse moyennepermet d’évaluer cette vitesse moyenne.d ( 3 + h)− d(3)hentre les instants 3 et 3 + h avec h "proche" de zéro. Un tableurLe problème posé par la valeur h = 0 peut se résoudre par un calcul algébrique de la vitesse moyenne entre les instants 3 et 3+h. Unesimplification classique permet d’écrire cette vitesse moyenne sous la forme 29,4 + 4,9 h pour tout h non nul. Cela permet de comprendre que,pour h très très proche de 0, la vitesse moyenne est très très proche de 29,4 kmh –1 et donc que v(3) = 29,4.Point de vue global :Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – analyse – page 2Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements