Document d'accompagnement

Le tableur permet de déterminer une valeur approchée de v(a) pour d’autres valeurs de a et de donner une idée de cette fonction v. Le calcul dev(a)/a peut aider à conjecturer la proportionalité de v(t) et t, et l’expression v(t) = 9,8t .2 - Approximation affineSoit f la fonction qui à x associe x 3 + 2 x.Calculer mentalement les images par f de quelques entiers est aisé. Mais faire de même pour les images de 1,02 ou de 0,97 pose problème.Comment pourrait-on faire pour être en mesure de calculer mentalement, une “bonne” valeur approchée de ces deux images ?f(1 + h) = 3 + 5 h + 3 h 2 + h 3 . La fonction qui à h associe 3 + 5 h est affine et 3 h 2 + h 3 est très proche de 0 lorsque h est très proche de 0. Doncf(1 + h) est très proche de 3 + 5 h lorsque h est très proche de 0. L’approximation affine de f(1 + h) est 3 + 5 h.Un tableur peut permettre d’éclairer ce phénomène et d’observer la qualité de cette approximation.3 - Vision géométrique : tangentes à une courbeApproche n°1 : présenter la tangente comme position limite d’une sécante.Par exemple, avec un logiciel, faire tracer la courbe représentative (C f ) de la fonction qui à x associe x 2 – 3x sur l’intervalle [–1 ; 5] et placerle point A de coordonnées (2,5 ; f(2,5)) puis un point M mobile sur la courbe(C f ). Tracer la droite (AM) et faire bouger le point M. Observerle passage de M en A.La tangente en A à la courbe (C f ) est la droite position limite des sécantes (AM) lorsque M est très très proche du point A.On peut admettre que le coefficient directeur de la tangente est la limite des coefficients directeurs des sécantes (AM) lorsque M s’approche deA. Vérifier que, si M a pour abscisse 2,5 + h, le coefficient directeur de (AM) est 2 + h. Tracer la droite passant par A et de coefficient directeur2.On peut recommencer l’expérience en changeant le point A.Approche n°2 : donner à comprendre que la tangente en A à la courbe (C f ) est la droite qui approche au mieux la courbe autour dupoint A.Par exemple soit f la fonction définie sur [0 ; 5] 3x− 4f ( x) = .2( x + 1)Faire tracer sur la calculatrice la courbe représentative de f et placer le curseur au point A d’abscisse 1.En utilisant le ZOOM, obtenir des grossissements de la courbe contenant le point A jusqu’à ce que cette courbe ait l’allure d’une droite. Enlisant les coordonnées d’un point M de la courbe proche de A, déterminer le coefficient directeur de (AM). Ce coefficient directeur est unevaleur approchée du coefficient directeur de la tangente en A.Approximation d’un pourcentageCe point est à rattacher au point correspondant du programme obligatoire mathématiques et informatique, et ne peut avoir lieu qu’après sonétude.Dans une logique qui consiste à mettre en évidence la cohérence entre les différentes visions du nombre dérivé, on peut faire constater quel’approximation affine des fonctions du type x a ( 1+ x) n pour de petites valeurs de l’entier naturel n peut s’obtenir en développant ( 1 + x) net en négligeant, quand x est suffisamment petit, les puissances de x supérieures ou égales à 2. On l’obtient aussi en déterminant le nombredérivé de la fonction en 0, puis une équation de la tangente à la courbe représentative au point d’abscisse 0. L’approximation affine ainsiobtenue au voisinage de 0 fournit une valeur approchée de ( 1 + x) n comme ordonnée du point d’abscisse x de cette tangente.On pourra poser aux élèves des questions en cohérence avec les problématiques envisagées dans le programme obligatoire mathématiques etinformatique.Par exemple :1. A quelle hausse semestrielle constante correspond une hausse annuelle donnée ?2. Est-ce qu’une hausse de x% sur un an équivaut à deux hausses successives de (x/2)% ? (ou quatre hausses successives de (x/4)% ?)Conduire ce travail revient à chercher une approximation affine en 0 de la fonction1/2 1/4permettre d’introduire les notations ( 1+ x) , ( 1 x) + .x a 1+x puis de x a 1+x , cela peut aussiSérie L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – analyse – page 3Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements