Document d'accompagnement

Quelques remarques : difficulté modeste pour la démonstration par récurrence, autres démonstrations directes possibles soit en regroupant etfactorisant les deux premiers termes de la somme, qui font apparaître le double de la somme des premiers entiers naturels, soit en distinguantles deux cas n pair et n impair.- 3 Quel est, pour un ensemble E à n éléments, le nombre total de parties de E ?- 4 Démontrer que 9 n − 2 n est toujours multiple de 7.Quelques remarques : difficulté moyenne pour la démonstration par récurrence ; il y a d’autres démonstrations possibles par la factorisationde 9 n – 2 n ou par les congruences, ce qui montre la puissance de cet outil. Il existe d’autres énoncés du même type dans les chapitrescongruences des manuels.- 5 Montrer que la propriété dépendant de n suivante «10 n +1 est multiple de 9 » est héréditaire. Est-elle vraie pour certains naturels ?pour tous ?Quelques remarques : c’est un exemple qui montre que la démonstration de l’hérédité ne suffit pas à prouver la vérité d’une proposition,puisqu’on peut aisément constater que cette propriété est fausse pour les premiers naturels, et même fausse pour tous, si on utilise par exemplele critère de divisibilité par 9 en numération décimale.Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – récurrence– page 4Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements