Document d'accompagnement

Seconde étape du processus dichotomiquePar construction même la propriété de lamoyenne géométrique est conservéeLe processus multiplicatif est conservé× qOrdonnéed’un pointOrdonnée dupoint suivantOn obtient la suite géométrique généralisée de raison q (le terme de rang 0 étant 1). On construit de cette manière une fonction définie surl’ensemble de nombres de la forme m/2 2 où m est élément de Z. Cette fonction est toujours telle que l’image de la somme de deux nombres estle produit des images de ces deux nombres.Remarquesm1 En démontrant que f est définie pour tout entier relatif m par f(m/2 2 )= q on pourrait justifier cette dernièrepropriété mais il n’est pas demandé de le faire avec les élèves..2 S’il n’est pas du tout question d’en parler aux élèves on remarquera que le processus décrit ci-dessus permetd’effectuer le passage de Z à D 2où D 2est l’ensemble des rationnels dyadiques (i.e. les rationnels qui s’écrivent sousla forme m/2 p , avec m dans Z et p dans N ). Cet ensemble ∆ 2 étant dense dans R, un tel processus permet donc bien dedéfinir une unique fonction définie sur R prolongement continu de cette fonction définie sur D 2. .En effet, pour tout nombre réel x, il existe une suite x n de nombres dyadiques convergente et de limite x . f(x ) = q x estla limite de f (x n ) = q x nAvec les élèves, on admettra que l’on complète petit à petit de cette manière la courbe représentative d’une fonction dérivable sur R,strictement positive sur R et qui a la qualité de transformer les sommes en produits. Il s’agit de la fonction x a q x . On pourra faire observerdifférents nuages de points obtenus en faisant varier la raison. Les figures suivantes ont été obtenues avec le logiciel Géoplan, fichier« expon2.g2w », respectivement pour q=0,7 et q=1,5.Il est alors possible de faire observer qu’entre tous les nuages de points obtenus en fai un et un seul Il est Il est alors possible defaire observer qu’entre tous les nuages de points obtenus en faisant varier la raison, un et un seul semble approcher la courbed’une fonction admettant en son point d’abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 1.Série L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – analyse – page 10Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements