Document d'accompagnement

3 Une analyse des difficultésa) Notion de successeur:La notion de successeur est fondamentale dans le raisonnement par récurrence. Or certains élèves ne perçoivent pas immédiatement que n+1désigne le successeur de n, ils l’interprètent comme somme de deux nombres, sans percevoir l’aspect fonctionnel de cette notion : dans ce cas,l’interprétation par exemple de n+2 comme successeur de n+1, et la substitution de n+1 à n pour obtenir la formulation de P(n+1) à partir decelle de P(n) posent problème.b) Démonstration de l’hérédité d’une propriété P:Une première difficulté est liée à la conception « commune » de l’implication, selon laquelle affirmer la vérité d’une implication, c’est affirmerla vérité de son antécédent. Sous une telle conception, souvent fréquente chez les élèves, la démonstration de l’hérédité peut paraître absurde.Un exemple comme celui qui est proposé plus loin en 5-5 peut être utile pour travailler ce point.Une autre difficulté tient au fait que dans les démonstrations les plus courantes d’énoncés conditionnels universellement quantifiés, leshypothèses qui correspondent à l’antécédent de l’implication se présentent comme des faits, par exemple des données de l’énoncé ou desrésultats établis précédemment. Dans le raisonnement par récurrence, il n’en est pas de même : l’élève doit identifier l’élément générique surlequel fonder la démonstration, il doit déclarer qu’un entier vérifie la propriété P.Pour faire cela, une pratique courante consiste à employer l’expression “ Supposons P(n) ”, ce qui est source d’obstacles importants. Examinonsdifférentes formulations.La formulation : Supposons P(n) ; montrons P(n+1).Cette formulation s’avère très ambiguë, les élèves pouvant aussi bien comprendre :- Supposons que pour tout entier naturel n P(n) ;- Supposons qu’il existe un entier naturel n tel que P(n) ;- Supposons que pour un entier n préalablement introduit P(n).Dans le premier cas, il n’y a rien à démontrer. L’élève ne comprend pas l’utilité de ce qui suit.Dans les deux autres cas, il reste aussi perplexe, puisqu’on vient justement de montrer qu’un entier n vérifie bien la propriété P, en amorce duraisonnement.Il faut donc absolument lever l’ambiguïté. Pour cela on peut penser à l’une des formulations qui suivent.La formulation : Soit n un entier. Supposons P(n). Montrons P(n+1).La première phrase signale, dans la pratique courante, l’introduction d’un entier générique, et P(n) renvoie à cet entier. Mais le risque quel’énoncé P(n) soit considéré comme une affirmation universellement vraie n’est pas nul, ce qui nous ramène au premier cas ci-dessus.La formulation : Supposons qu’il existe un entier n tel que P(n). Montrons P(n+1).On a déjà noté que la première phrase peut apparaître comme absurde. De plus, la deuxième phrase est ininterprétable. En effet, dans l’énoncé“ il existe un entier n tel que P(n) ”, la variable n est muette, autrement dit on pourrait remplacer la lettre n par toute autre lettre, on pourrait parexemple écrire : “ supposons qu’il existe un entier k tel que P(k). Montrons P(n+1) ”.L’analyse précédente conduit à conseiller de ne plus utiliser la formulation “ supposons P(n) ” et à la remplacer par une formulationqui introduit explicitement n comme un entier vérifiant la propriété P. Par exemple :Considérons un entier n tel que P(n) ; montrons P(n+1).Dans cette formulation, on considère un élément parmi ceux qui vérifient la propriété P, ce qu’on est assuré de pouvoir faire, dans la mesure oùon a montré qu’il en existe un pour pouvoir initier la démonstration. On retrouve ici la méthode générale pour démontrer une propriétéuniverselle donnée sous forme conditionnelle, lorsqu’on est assuré qu’il y a au moins un élément vérifiant la propriété antécédente.c) Différents statuts de l’écriture P(n) :Au moment de l’identification de la propriété P, l’écriture P(n) désigne une phrase ouverte dans laquelle n est une variable. Dans la formulationde la conjecture sous la forme “ quel que soit n de N, P(n) ”, on obtient une proposition, dans laquelle n est une variable décrivant N. Le statutde n n’est donc pas le même que celui de l’entier qu’on utilise au moment de la démonstration de l’hérédité, où cet entier désigne alors unélément parmi ceux vérifiant P.Il apparaît donc souhaitable que, pour marquer cette différence de statut, on choisisse d’utiliser dans la démonstration de l’hérédité une lettredifférente de celle qu’on utilise dans la formulation de la conjecture.4 Proposition de problèmes pour l’introduction de ce raisonnementAu cours de sa scolarité, l’élève a été amené à travailler par induction, c’est-à-dire comme le dit G. Polya “ à découvrir des lois générales enpartant de l’observation d’exemples particuliers et de leur combinaison ”, en sciences expérimentales et en mathématiques. Mais enmathématiques, une “ loi induite ” ne sera considérée comme valable qu’après avoir été démontrée, nécessité parfois difficile à percevoir pourles élèves.C’est pourquoi il paraît profitable de leur proposer au début de cet apprentissage et simultanément au moins deux situations, dont l’une met enévidence la nécessité d’une démonstration pour transformer l’intuition en certitude.1)Empilement de triangles équilatérauxSérie L– mathématiques – projet de document d’accompagnement – récurrence– page 2Direction de l’enseignement scolaire – bureau du contenu des enseignements