Journal asmac No 5 - octobre 2022

Point de mire
Le mathématicien franco-polonais
Benoît Mandelbrot (1924–
2015) introduit le terme «fractale»
en 1975. Ce terme n’a pas
de définition mathématique formelle,
mais décrit un phénomène. Il désigne,
très schématiquement, des objets géométriques
autosimilaires. Mandelbrot
commence par découvrir les structures
autosimilaires dans ses travaux sur la
mécanique des fluides et la théorie de
l’information, ainsi que dans ses études
sur les fluctuations de prix des marchés
financiers dans les années 1950 et 1960.
Dans les années 1970, il se consacre à
l’étude d’objets mathématiques fractals.
Ni ligne ni surface
Le mathématicien suédois Helge von Koch
(1870–1924) est le premier à décrire formellement
en 1904 un objet fractal, la
fameuse courbe de von Koch, qu’il avait
introduite comme exemple de courbe
continue dérivable en aucun point. A savoir
une courbe que l’on peut tracer sans
lever le crayon, mais qui n’a aucun point
de tangente. Il s’agit de la courbe limite
que l’on obtient en remplaçant le tiers médian
d’un segment initial par les deux côtés
du triangle équilatéral dont la base est
le tiers remplacé, et en répétant cette procédure
avec chaque segment du tracé obtenu.
La figure 2 illustre les quatre premières
étapes de sa construction itérative.
La longueur de la courbe limite est infinie,
car chaque reproduction multiplie la longueur
par le facteur .
La dimension de Hausdorff est introduite
en 1918 par le mathématicien allemand
Felix Hausdorff (1868–1942). Celleci
attribue aux courbes un nombre qui
Figure 2: La courbe de von Koch
(image: Heiner Rohner)
24
E 0
E 1
E 2
E 3
.
K
indique dans quelle mesure une courbe
remplit les voisinages des points de
courbe. La dimension de Hausdorff de la
courbe de von Koch est de ≈1,261, ce
qui signifie que la courbe de von Koch
n’est ni une ligne ni une surface. La notion
habituelle de dimension, selon laquelle
les segments et les lignes droites ont une
dimension 1, les carrés et les plans une dimension
2, les cubes et l’espace une dimension
3, n’est donc pas assez précise
pour caractériser les objets fractals.
La dimension de Hausdorff est également
définie pour des sous-ensembles de
l’espace, ce qui est important pour les applications
des fractales en médecine et en
ingénierie.
Surfaces limitées à bord infini
La courbe limite de la répétition de la figure
3 se définit de la même manière que la
courbe de von Koch. Dans la courbe de
Minkowski, les deux quarts centraux d’un
segment sont remplacés par les trois côtés
du carré de même dimension. Sa dimen-
Figure 3: La courbe de Minkowski
(image: Heiner Rohner)
2
E 0
E 1
E 2
E 3
.
M
sion de Hausdorff est de 1,5, ce qui signifie
qu’elle remplit davantage les voisinages de
ses points que la courbe de von Koch.
Figure 4: Le flocon de Koch
(image: Heiner Rohner)
Si l’on remplace chaque côté d’un
triangle équilatéral par la courbe de von
Koch correspondante, on obtient ce que
l’on appelle un «flocon de neige». Son aire
est finie – 1,6 fois l’aire du triangle de départ
– mais la longueur de son bord est infinie!
3
La courbe devient surface
Mandelbrot est devenu célèbre grâce au
«bonhomme pomme» représenté dans la
figure 1, qui contient une infinité de réductions
de lui-même, que l’on désigne
par le terme «autosimilarité». Pour chaque
point C du système de coordonnées, une
règle simple – une fonction quadratique
dépendant de C – calcule une suite de
points C 0
,C 1
,C 2
,… avec une valeur de départ
C 0
=(0,0). Si cette séquence reste à l’intérieur
du cercle avec le centre (0, 0) et le
rayon 2, le cercle est colorié en noir. Les
autres valeurs de C donneront des points
coloriés d’une certaine façon selon le
temps d’échappement.
Comme le flocon de neige, le bonhomme
pomme possède une courbe limite
de longueur infinie. La courbe limite est si
sinueuse que sa dimension de Hausdorff
est de 2, soit la dimension d’une surface!
Les fractales dans la nature et la
technique
Les structures fractales sont très répandues
dans la nature. Les fougères, les cours
d’eau et les arbres en sont des exemples
(figure 5). Comme il s’agit d’objets finis, ils
ne sont en réalité que des approximations
de véritables fractales. C’est ce que montre
la courbe de von Koch. Sa dimension de
Hausdorff est de 1 pour chaque courbe obtenue
après un nombre fini de répétitions,
c’est-à-dire égale au segment de départ.
Seule la courbe limite a une dimension supérieure
à 1.
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