Periodico di matematiche - Mathesis
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Vettori<br />
Antonino Giambò<br />
1. Il calcolo vettoriale entra nell’insegnamento/appren<strong>di</strong>mento della matematica<br />
a pieno titolo con le In<strong>di</strong>cazioni Nazionali per i Licei, che nel nucleo “Aritmetica e<br />
algebra” per il primo biennio così dettano: « . . . [Lo studente] stu<strong>di</strong>erà i concetti<br />
<strong>di</strong> vettore, <strong>di</strong> <strong>di</strong>pendenza e in<strong>di</strong>pendenza lineare, <strong>di</strong> prodotto scalare e vettoriale<br />
nel piano e nello spazio . . . ». In realtà le In<strong>di</strong>cazioni Nazionali non enfatizzano il<br />
ruolo fondamentale <strong>di</strong> questo strumento all’interno della matematica, ma lo presentano<br />
quasi esclusivamente come supporto allo stu<strong>di</strong>o della fisica. Ecco, in quest’articolo ci<br />
proponiamo <strong>di</strong> far vedere come i vettori siano in realtà uno strumento formidabile per<br />
affrontare e risolvere questioni <strong>matematiche</strong> <strong>di</strong> geometria piana. Niente <strong>di</strong> originale,<br />
per carità, ma cose ugualmente utili. Che poi siano utili anche in fisica è un <strong>di</strong> più,<br />
anche se, bisogna riconoscerlo, sembra che proprio con la fisica sia nato il concetto <strong>di</strong><br />
“vettore”.<br />
2. Incominciamo col <strong>di</strong>re che il modo migliore d’introdurre il concetto <strong>di</strong> vettore<br />
è il ricorso alla definizione rigorosa, vale a <strong>di</strong>re “vettore” come “classe <strong>di</strong> segmenti<br />
orientati equipollenti”. In questo modo è facile comprendere che un vettore v può<br />
essere rappresentato da un qualunque segmento orientato della classe senza però<br />
identificarsi con esso. Cosa, questa, non scontata per molti studenti e soprattutto <strong>di</strong><br />
notevole importanza.<br />
Introdotto poi il concetto <strong>di</strong> “somma” <strong>di</strong> due vettori, si <strong>di</strong>mostrano (o si verificano,<br />
se <strong>di</strong>mostrare non si può) le seguenti proprietà:<br />
u + v = v + u (proprietà commutativa)<br />
(u + v) + w = u + (v + w) (proprietà associativa)<br />
u + 0 = 0 + u = u (esistenza dell’elemento neutro)<br />
u + (−u) = (−u) + u = 0 (simmetrizzabilità degli elementi)<br />
essendo u, v, w vettori qualsiasi e 0 il vettore nullo.<br />
Insomma si fa vedere che i vettori costituiscono un modello <strong>di</strong> gruppo abeliano. Ma il<br />
docente non parlerà esplicitamente né <strong>di</strong> strutture algebriche né tanto meno <strong>di</strong> gruppi.<br />
Non ce n’è necessità alcuna.<br />
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