Periodico di matematiche - Mathesis

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F. aulEtta - l. vErolino
65
F. Auletta, L. Verolino 65
Un esempio notevole
La funzione y = senx/x esprime il variare del rapporto tra il seno di un arco x e
dell’arco stesso ed è definita ∀x = 0; si dimostra, applicando il teorema del confronto
in un contesto geometrico, che è unitario il limite per x tendente a zero e questo prova
che è vero ciò che intuitivamente si afferma dicendo che un arco e il suo seno finiscono
quasi per confondersi mano a mano che l’arco rimpicciolisce. Non solo, ma da questa
considerazione ne scaturisce un’altra: nell’infinitamente piccolo gli archi ed i seni
possono considerarsi direttamente proporzionali.
Allo scopo di rendere quanto più chiara possibile la tecnica non convenzionale di
soluzione che si vuole presentare in questa nota, si cominci con un semplice esempio
goniometrico e si voglia determinare il limite
L = lim
x→0
senx − x
x3 ,
supponendo già noti i limiti notevoli
senx 1 − cosx
lim = 1, lim
x→0 x x→0 x2 = 1
2 ·
Per determinare il limite L, non volendo adoperare le tecniche suddette, si può
partire riscrivendo senx con la formula di duplicazione degli archi e procedere come
segue
2sen
L = lim
x→0
x x
cos − x
2 2
x3 =
2sen
= lim
x→0
x x x
cos − 2sen
2 2 2
x
+ 2sen − x
2
x3 =
2sen
= lim
x→0
x
cos
2
x
− 1
2
x3 2sen
+ lim
x→0
x
− x
2
x3 ·
Ora, ponendo x = 2u, si può anche a scrivere
2senu(cosu − 1)
L = lim
u→0 8u3 2(senu − u)
+ lim
u→0 8u3 =
= 1
senu(cosu − 1)
lim
4 u→0 u3 (senu − u)
+ lim
u→0 u3
=
= − 1
4 lim
senu (1 − cosu)
lim
u→0 u u→0 u2 + 1
4 L.
In tal modo, il calcolo del limite è stato trasformato nella seguente equazione di primo
grado
L = − 1
8
1
+ L → L = −1
4 6 ·