Periodico di matematiche - Mathesis

64 Periodico di matematiche 3/2011
64 Periodico di matematiche 3/2011
della lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio, rappresentano inequivocabilmente
gli esempi più concreti dell’esistenza fin dal V secolo a.C. di una tecnica di
ragionamento basata sul concetto di limite se anche in forma intuitiva. Oltre duemila
anni più tardi tale concetto ha trovato la sua sistemazione quale fondamento dell’analisi
matematica e la sua applicazione operativa risulta uno strumento straordinariamente
efficace per l’indagine nell’infinitamente piccolo e nell’infinitamente grande.
Il passaggio al limite cui è sottoposta una funzione continua y = f (x) in un
qualsiasi punto x0 del dominio, necessariamente di accumulazione (non vengono
qui considerate funzioni il cui dominio è un insieme di punti isolati), si traduce
nella semplice operazione del calcolo del valore finito dell’espressione y = f (x0), ma
non è questa l’esigenza per la quale si utilizza tale operazione, che, invece, diventa
indispensabile per studiare il comportamento di una funzione negli intorni di punti di
accumulazione non appartenenti al dominio oppure all’infinito e, in entrambi i casi,
rilevare suoi eventuali rami asintotici. È proprio in queste situazioni che si verificano
difficoltà operative allorquando il primo approccio all’operazione di passaggio al
limite si configura in uno dei risultati universalmente definiti con il nome ‘forme
indeterminate’, come ad esempio il rapporto 0/0 che verrà qui esaminato per alcuni
casi particolari. Per superare tali difficoltà, almeno per quegli esercizi proposti agli
studenti nelle prove d’esame e, quindi, necessariamente risolvibili, i cosiddetti esercizi
ad usum delphini, oltre ai primi tentativi, ove si manipola opportunamente la funzione
con l’obbiettivo di poter inserire l’utilizzo di limiti fondamentali o notevoli, si ricorre
a strumenti di calcolo tanto efficaci quanto ineludibili come il principio di sostituzione
degli infinitesimi, la regola di de l’Hôpital oppure gli sviluppi in serie di Taylor o
di MacLaurin. È altrettanto vero, però, che la risoluzione di un limite per via ‘non
convenzionale’, cioè senza il ricorso a tali strumenti, è, in genere, soprattutto quando
è attuabile, più apprezzata dal docente, insegnante oppure esaminatore che sia, perché
attraverso questa via si riescono a cogliere capacità e preparazione dello studente più
di quanto questi non dimostri con il meccanicismo degli altri metodi risolutivi.
In questa breve nota si vuole mostrare come la risoluzione di particolari limiti,
che si presentano nella forma indeterminata 0/0, non debba necessariamente fare uso
degli strumenti suddetti, sviluppi in serie di MacLaurin, tanto meno invocando teoremi
di non facile comprensione e di ardua applicabilità, ma ricorrendo a procedimenti
elementari ed alle operazioni sui limiti. Quando il docente avrà dimostrato alcuni
limiti fondamentali, prima di spiegare le derivate, potrà fare uso della tecnica esposta
in questo lavoro per allargare l’orizzonte dei limiti risolvibili, non rimandando a dopo
le derivate la soluzioni di alcuni interessanti limiti. D’altra parte, l’interesse scientifico
per queste tecniche di soluzione è dimostrato da un lavoro del 2010 pubblicato da tre
ricercatori dell’Università di Salerno (NOCERA ET AL., 2010).
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