Periodico di matematiche - Mathesis

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M. CoCozza - a. russo
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M. Cocozza, A. Russo 75
Teorema di Peano - Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
1. Esiste un insieme infinito;
2. Esiste una terna di Peano;
3. Esiste un insieme naturalmente ordinato privo di massimo.
3 La nostra indagine
Come è stato rilevato da molti studiosi di didattica della matematica, (cfr., ad
esempio, (D’AMORE, 1996)), alcune peculiarità incontrate nella storia dell’infinito
si ripresentano nella didattica. È interessante notare come uno stesso individuo,
dopo un primo incontro intuitivo con l’infinito potenziale nella scuola primaria, solo
gradualmente ed in modo spesso discontinuo, raggiunga una consapevolezza completa
degli aspetti principali dell’infinito matematico. Peraltro, il più delle volte si rimane
ancorati ai modelli intuitivi della fase iniziale. E ciò è stato riscontrato anche in
insegnanti di matematica di scuola primaria e secondaria.
Di seguito vengono elencate alcune delle convinzioni emerse da una serie di sperimentazioni
(test, interviste) descritte nella tesi di dottorato di ricerca di S. Sbaragli “Le
convinzioni degli insegnanti sull’infinito matematico” (SBARAGLI, internet). Tali opinioni
costituiscono dei veri e propri ostacoli didattici nell’apprendimento dell’infinito
matematico:
• Infinito come indefinito (qualcosa che non si riesce a dire, che non si sa quanto sia,
che non si può tradurre per iscritto).
• Infinito come numero molto grande.
• Infinito come illimitato (quindi, un segmento ha un numero “finito” di punti).
• Dipendenza dal modello finito. Si trasferisce al caso infinito l’idea che le espressioni
“avere lo stesso numero di elementi” ed “essere uguali” siano equivalenti (il
problema si risolve usando l’aggettivo “equipotente” al posto di “uguale”). Questa
convinzione viene supportata da errati modelli dei concetti primitivi della geometria:
punto, retta (modello della collana). Si riesce con grandi difficoltà a staccarsi da
modelli sensibili che dovrebbero essere solo un ausilio didattico per la concettualizzazione.
(Paradosso di Duval (1993): “ [. . . ] da una parte, l’apprendimento
degli oggetti matematici non può che essere un apprendimento concettuale e, d’altra
parte, è solo per mezzo di rappresentazioni semiotiche che è possibile un’attività su
degli oggetti matematici”).
• Appiattimento (dopo aver superato la dipendenza dal modello finito si suppone
l’equipotenza di tutti gli insiemi infiniti).
• Scarsa accettazione dell’infinito attuale (“[. . . ] il concetto di infinito attuale è
considerato contrario all’intuizione e tale da generare perplessità, pertanto non è
facilmente acquisibile; per insegnarlo è necessaria una speciale sensibilità didattica”
(TSAMIR, 2000)).