Periodico di matematiche - Mathesis

56 Periodico di matematiche 3/2011
56 Periodico di matematiche 3/2011
QUESTIONE 4. Verificare che, comunque siano scelti i vettori u, v, si ha:
(u + v) 2 + (u − v) 2 = 2(u 2 + v 2 ).
Come applicazione di questa proprietà dimostrare che in ogni parallelogramma la
somma dei quadrati costruiti sulle diagonali è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sui quattro lati.
RISOLUZIONE. Dopo aver effettuato l’elementare verifica, si considera il parallelogramma
ABCD e si pone u = AB e v = BC. La prosecuzione è semplice.
QUESTIONE 5. L’esercizio di cui ci occupiamo adesso è il quesito N° 10 assegnato
negli esami di Stato 2010, liceo scientifico di ordinamento, sessione straordinaria:
Si dimostri che se le diagonali di un quadrilatero sono perpendicolari, la somma dei
quadrati di due lati opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due.
RISOLUZIONE. Supponiamo che sia ABCD il quadrilatero assegnato (Fig. 5) e sia E il
punto in cui si secano le sue diagonali perpendicolari AC e BD.
Risulta evidentemente:
AB + BC = AD + DC,
da cui segue:
AB − DC = AD − BC.
Figura 5
Da qui, elevando entrambi i membri al quadrato e sviluppando si ottiene:
AB 2 + DC 2 − 2AB · DC = AD 2 + BC 2 − 2AD · BC.
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