Periodico di matematiche - Mathesis

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F. aulEtta - l. vErolino
67
F. Auletta, L. Verolino 67
Da quest’ultima relazione, si deduce immediatamente che
L = 1
2 ·
Quest’ultimo risultato può anche essere ottenuto in maniera diversa, precisamente
elevando al quadrato il limite fondamentale, sicché
e
1 = lim
x→0
2x − 2ex + 1
= 4 lim
u→0
x 2
e u − 1 − u
u 2
e
= lim
x→0
2x − 1 − 2x
− 2 lim
x→0
x 2
2 + 2x − 2e
+ lim
x→0
x
x2 =
e x − 1 − x
x 2 = 4L − 2L → L = 1
2 ·
Entrambe le tecniche mostrate possono con successo essere applicate alla determinazione
dell’altro limite
e
M = lim
x→0
x − 1 − x − x2
2
x3 ·
Risulta in tal modo
M = lim
x→0
= 1
lim
27 u→0
= 1
27
= 1
27
e x 3
3 − 1 3e
+ lim
x x→0
2x
eu 3 − 1
+
u
1
27 lim
u→0
1
+
9 lim
e
u→0
2u − 1 − 2u − 2u2 u3 + 8
9
3 − 3e x 3 − x − x2
2 =
x 3
3e 2u − 3e u − 3u − 9u2
2
u 3
+ 1
9 lim
u→0
1
1
M − M → M =
9 6 ,
=
1 + u − e u + u2
2
u 3
risultato verificabile applicando tre volte di seguito la regola di de l’Hôpital.
Conclusioni
La spinta ad utilizzare solo limiti notevoli nel calcolo di limiti complessi trova la
sua giustificazione didattica nel fatto che molti studenti usano con troppa disinvoltura
la sostituzione degli infinitesimi, commettendo gravi errori, legati alla osservazione
che se ad una funzione infinitesima di ordine superiore rispetto a y = f (x) si aggiunge
un’altra funzione con la stessa proprietà, non si migliorano le conoscenze della prima,
pertanto, nelle differenze di funzioni infinitesime non è possibile sostituire ad una
=