Periodico di matematiche - Mathesis

✐
✐
M. CoCozza - a. russo
71
M. Cocozza, A. Russo 71
ottenute nell’ambito della didattica della matematica relativamente alle problematiche
concernenti l’infinito.
2 Un po’ di storia
Andiamo dunque alla ricerca degli ostacoli epistemologici attraverso la storia
dell’infinito.
• Anassimandro di Mileto (VI secolo a.C.): L’infinito è l’apeiron, cioè l’indeterminato,
l’indefinito e l’illimitato.
• Pitagora di Samo (VI secolo a.C.): Finitismo. La scuola pitagorica concepisce
un tratto di linea come un aggregato costituito da un certo numero finito di punti
ciascuno dei quali di dimensioni finite (concezione granulare del punto (modello
della collana (Arrigo-D’Amore)). Tutte le cose vengono espresse mediante rapporti
tra numeri naturali.
• Scoperta Mirabilis (Ippaso di Metaponto, 500 a.C): Incommensurabilità della diagonale
e del lato di un quadrato (cfr. Menone di Platone, ~385 a.C.). Distacco fra
intuizione e ragione, passaggio dalla geometria di approssimazione alla geometria
di precisione, inizio della “vera Matematica” . Si perviene “all’annichilimento del
punto, che viene ridotto ad un’entità evanescente, cioè senza dimensioni: privo di
lunghezza, larghezza e altezza. Si tratta cioè del famoso punto geometrico [. . . ]
Sicché una linea, per quanto breve, non contiene già cento, o mille, o diecimila
punti, ma ne contiene infiniti. Questo fatto si esprime con una semplice proposizione,
che si assume come postulato sulla struttura della linea geometrica: tra due punti
qualunque di una linea può sempre inserirsi (almeno) un punto intermedio” (A.
Frajese). L’infinito si insinua nelle pieghe della matematica sin dalle sue origini.
• Zenone di Elea (~450 a.C.): Con i suoi celebri paradossi (ricordati nella Fisica di
Aristotele) mette in discussione le nuove concezioni scaturite dalla scoperta delle
grandezze incommensurabili. Le affermazioni di Zenone traggono la loro origine
dalla filosofia dell’essere di Parmenide per il quale l’infinito comprende tutto ma è
limitato.
Come afferma A. Frajese: “I matematici greci, di fronte ai problemi dell’infinito,
si misero ben presto in posizione di difesa. [. . . ] Per evitare l’uso diretto dell’infinito,
evidentemente pericoloso per il rigore matematico, escogitarono geniali, ma al tempo
stesso paralizzanti teorie, che si mossero in ambito perfettamente rigoroso. Fu il
matematico Eudosso di Cnido (408 a.C. – 355 a.C) il maestro dei maestri in questo
campo: [. . . ] Egli fu il più grande imbrigliatore dell’infinito attraverso i tempi.”
• La teoria delle proporzioni e il metodo di esaustione sono le due teorie attraverso
le quali Eudosso affrontò il problema della determinazione del rapporto di due