parte ii - circuiti elettrici ed elementi ideali - Fisica

ELEMENTI A DUE PORTE
Si considerano tre elementi passivi fondamentali a due porte, induttori accoppiati,
trasformatore ideale e giratore, e vari elementi attivi, fra i quali hanno particolare importanza i
generatori controllati.
13. Induttori accoppiati
L'elemento ideale induttori accoppiati è descritto dalle seguenti equazioni costitutive:
(24)
di1 t di2 t di1 t di2 t
v1 t L1 M ; v2 t M L2
dt dt dt dt
Simbolo grafico dell'elemento induttori accoppiati. I pallini indicano il segno della
tensione indotta a una porta per effetto di una corrente entrante nell'altra (se sono
concordi M > 0, se sono discordi M < 0).
Si tratta di equazioni differenziali e pertanto l'elemento è dinamico,
dotato di memoria. Si nota che se le due correnti sono costanti, le due tensioni sono nulle e allora
svanisce l'accoppiamento fra le due porte. In continua, in particolare, ciascuna delle due porte
dell'elemento si comporta come un cortocircuito. In regime permanente sinusoidale le equazioni
costitutive assumono la forma:
(25) V1 = jL1I1 + jMI2 ; V2 = jMI1 + jL2I2
La passività dell'elemento impone le seguenti condizioni per i valori delle tre costanti reali che figurano nelle equazioni
costitutive:
(26) L1 0 ; L2 0 ; |M| (L1L2)
Se, infatti, la porta 2 è aperta, e quindi i2 = 0, l'elemento si comporta alla porta 1 come un induttore di induttanza L1,
sicché deve essere L1 0 per la passività. Analogo discorso, scambiando fra loro le porte, conduce alla condizione
L2 0. La condizione per M, infine, si ricava imponendo la passività dell'elemento quando si considerino ambedue le
porte percorse da corrente. Poiché la potenza assorbita è:
p(t) = v1(t) i1(t) + v2(t) i2(t) = L1i1di1/dt + M(i1di2/dt + i2di1/dt) + L2i2di2/dt
la condizione di passività (7), applicata alle due porte dell'elemento, diventa:
E(t) = p() d = ½ L1i1²(t) + Mi1(t)i2(t) + ½ L2i2²(t) 0
Che è verificata per qualunque valore delle due correnti all'istante generico t, e quindi per qualunque valore del rapporto
i1/i2, soltanto se M² - L1L2 0, da cui deriva l'ultima delle condizioni (26).
G. V. Pallottino – Aprile 2011 Appunti di Elettronica - Parte II pag. 21
Università di Roma Sapienza - Dipartimento di Fisica