parte ii - circuiti elettrici ed elementi ideali - Fisica

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Il comportamento energetico dell'elemento induttori accoppiati è analogo a quello dell'induttore (come mostra anche la precedente discussione sulla passività). La costante M, il cui valore determina l'accoppiamento fra le due porte, si esprime spesso nella forma normalizzata: (27) M K 0 K 1 LL 1 2 Le equazioni costitutive (24) indicano che lo stato del sistema è caratterizzato dalle due variabili i1(t) e i2(t) (ma ne basta una sola se K=1). E' possibile invertire le equazioni costitutive, esprimendo le correnti in funzione delle tensioni (e introducendo i termini che rappresentano lo stato iniziale, come nella (15)), salvo quando si verifica K=1. Questo caso particolare di accoppiamento totale viene rappresentato con un altro elemento: il trasformatore ideale. E' possibile generalizzare l'elemento induttori accoppiati da 2 a N porte. Le costanti che appaiono nelle equazioni costitutive dovranno soddisfare condizioni analoghe alle (26): Lk 0, |Mhk| (LhLk). Esercizio. Determinare l'induttanza del circuito ottenuto collegando in serie le due porte dell'elemento induttori accoppiati, in ciascuno dei due modi possibili. Nel primo si porrà: v = v1+v2, i1 = i, i2 = i; nel secondo, v = v1 - v2, i1 = i, i2 = -i. Esercizio. Dimostrare che l'elemento induttori accoppiati è reciproco. 14. Trasformatore ideale Il trasformatore ideale è descritto dalle seguenti equazioni costitutive: (28) v1(t) = n v2(t) ; i1(t) = -i2(t) / n dove n è una costante reale e il segno negativo che appare nella seconda equazione dipende dalla scelta coordinata dei versi delle grandezze elettriche. Questo elemento costituisce un modello dei trasformatori reali, dove il modulo del coefficiente n rappresenta il rapporto fra il numero di spire dell'avvolgimento primario e quello del secondario. Simbolo grafico del trasformatore ideale Le (28) sono equazioni algebriche e pertanto il trasformatore ideale è un elemento statico, privo di memoria. La conseguenza, nel caso di segnali variabili nel G. V. Pallottino – Aprile 2011 Appunti di Elettronica - Parte II pag. 22 Università di Roma Sapienza - Dipartimento di Fisica
tempo, è che le forme d'onda delle tensioni (delle correnti) alle due porte sono identiche fra loro, a parte il fattore di scala n. Calcolando la potenza totale assorbita dal trasformatore ideale p(t) = v1(t)i1(t) + v2(t)i2(t), si conclude che è identicamente nulla a ogni istante di tempo. Si tratta dunque di un elemento non energetico, che non assorbe nè cede energia, ma la trasferisce integralmente da una porta all'altra. La funzione del trasformatore ideale quella di alterare, secondo i rapporti n e 1/n, le grandezze elettriche tensione e corrente alle due porte e quindi, secondo il rapporto n 2 , i livelli d'impedenza alle porte. Ciò ha conseguenze di grande importanza. Esaminiamo, in particolare, quanto accade quando colleghiamo una porta del trasformatore, per esempio la porta 2, a un resistore di resistenza R. Si ha i2 = -v2/R, da cui i1 = v2/nR. Poichè v2 = v1/n, si conclude che la corrente che fluisce nella porta 1 ha intensità: i1 = v1/n²R ossia il resistore viene visto, attraverso il trasformatore, come se avesse resistenza n²R. Analogo discorso vale per un induttore L, che sarà visto come se avesse induttanza n²L, e per un condensatore, che sarà visto come se avesse capacità C/n². v1 = n 2 R i1 Ricordiamo qui come la possibilità di alterare a piacimento il rapporto fra tensione e corrente, idealmente senza perdite di energia (con dissipazioni relativamente modeste nei trasformatori reali 12 ), abbia condotto alla fine dell’Ottocento, dopo l'invenzione del trasformatore, a scegliere le correnti alternate, invece delle correnti continue, per la trasmissione a distanza e la distribuzione dell'energia elettrica. Infatti, quando si collega un generatore a un carico attraverso un linea di resistenza R, la potenza dissipata nella linea per effetto Joule è Ieff 2 R. Disponendo un trasformatore elevatore fra il generatore e la linea (e uno riduttore fra la linea e il carico), la corrente sulla linea si riduce di un fattore n e la potenza dissipata in R di n², a parità di potenza trasmessa (la tensione sulla linea, invece, aumenta dello stesso fattore n, rendendo necessario affrontare i conseguenti problemi di isolamento, per evitare scariche indesiderate). Il modello ideale rappresentato dalle (28) conduce a una evidente incongruenza: l'elemento ideale trasferisce anche segnali in continua, oltre che in alternata (sappiamo, invece, che le correnti indotte nascono soltanto da variazioni di flusso magnetico). Per risolvere questa incongruenza, occorre fare riferimento a un modello più realistico, basato sul comportamento fisico del trasformatore reale: per questo si introduce un induttore di valore opportuno in parallelo alla porta 1 (oppure alla porta 2) dell'elemento ideale. L'induttanza di questo induttore rappresenta quella 12 I trasformatori usati nelle applicazioni di potenza possono presentare rendimenti di oltre il 99%. G. V. Pallottino – Aprile 2011 Appunti di Elettronica - Parte II pag. 23 Università di Roma Sapienza - Dipartimento di Fisica
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