parte ii - circuiti elettrici ed elementi ideali - Fisica

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Supponiamo che la tensione applicata da un generatore esterno a una porta di una rete sia v(t) = V cos(t+v) = Re[V e jt ], dove V=V e jv e V=|V|. La corrente che scorre nella porta in regime sinusoidale permanente sarà evidentemente: i(t) = I cos(t+i) = Re[I e jt ], dove I=I e ji e I=|I|. La potenza istantanea assorbita dalla rete alla porta considerata è allora: p(t) = v(t) i(t) = VI cos(t+v) cos(t+i) = ½ VI cos(v - i) + ½ VI cos(2t+v+i). Dato che il valor medio del secondo termine a destra è nullo, la potenza media assorbita in regime sinusoidale è: Pm = ½ VI cos(v - i); in termini di valori efficaci si ha la formula di Galileo Ferraris Pm = Veff Ieff cos(v - i). Si nota che l'argomento v - i è uguale all'angolo di fase dell'impedenza Z(j) della rete alla frequenza angolare . Inoltre, dato che Z(j) = V / I = (V/I) exp(j(v - i)), Y(j)=1/Z(j), si può esprimere la potenza media nelle due forme seguenti: Pm = ½ I 2 Re[Z(j)] = ½ V 2 Re[Y(j)] Se una rete a una porta è passiva, la potenza media assorbita da essa deve essere non negativa a qualsiasi frequenza, e allora, per quanto sopra, sia l'impedenza che l'ammettenza della rete devono avere parte reale non negativa a qualsiasi frequenza, cioè deve essere: (7a) Re[Z(j)] 0 ; Re[Y(jω)] 0 per qualsiasi D'altra parte, se vi è una frequenza a cui la (7a) non è verificata, allora la rete è attiva. Notiamo infine che per quanto riguarda la potenza istantanea assorbita da una rete non vale evidentemente il principio di sovrapposizione degli effetti. Questo è, invece, verificato per quanto riguarda la potenza media nel caso di un circuito in regime permanente sinusoidale, quando l'ingresso sia costituito dalla somma di più sinusoidi a frequenze diverse. La dimostrazione è basata sull'ortogonalità fra sinusoidi di frequenza diversa. 6. Reciprocità La reciprocità è una proprietà che stabilisce delle relazioni fra gli effetti di eccitazioni applicate in punti diversi di un circuito. Consideriamo una rete costituita da bipoli e da elementi a più porte, riconducibile quindi a una rete di bipoli. Se in serie a un bipolo h disponiamo un generatore di tensione vo(t), nel bipolo k scorrerà una corrente corrispondente, che indichiamo con ikh(t) (questa corrente, per la linearità del circuito, si somma a quella determinata dalle altre eventuali eccitazioni del circuito, di cui qui non ci occupiamo). Disponendo lo stesso generatore in serie al bipolo k, nel bipolo h scorrerà la corrispondente corrente ihk(t). Allo stesso modo, se colleghiamo un generatore di corrente io(t) fra una coppia H di terminali dei bipoli del circuito, fra la coppia K si stabilirà la tensione vKH(t) (anche qui, in aggiunta a quella determinata da eventuali altre eccitazioni). Disponendo lo stesso generatore in parallelo alla coppia di terminali K, fra la coppia H si stabilirà la tensione vHK(t). G. V. Pallottino – Aprile 2011 Appunti di Elettronica - Parte II pag. 8 Università di Roma Sapienza - Dipartimento di Fisica
Diciamo che il circuito è reciproco se (8) ihk(t) = ikh(t) ; vHK(t) = vKH(t) per tutte le coppie h e k di bipoli, e per tutte le coppie H e K di terminali del circuito. Da quanto sopra consegue che in un circuito reciproco è possibile scambiare fra loro di posto un generatore di tensione (di corrente) e un amperometro (un voltmetro) senza che si modifichi l'indicazione dello strumento. Il significato della reciprocità può essere dunque interpretato così: l'effetto non si modifica se scambiamo fra loro la posizione della causa con quella dell'effetto. Chiariamo quanto detto con l'esempio illustrato nella figura, relativo a una rete costituita da tre resistori. Disponendo il generatore vo in serie al bipolo 1, nel bipolo 3 scorre la corrente i31. Disponendo vo in serie al bipolo 3, nel bipolo 1 scorre la corrente i13. Si dimostra facilmente che i31 = i13, per qualsiasi valore dei tre resistori. Notiamo che la reciprocità è una proprietà diversa dalla passività. Sebbene la quasi totalità degli elementi passivi e delle reti passive da essi costituite goda della proprietà di reciprocità, vi sono alcuni esempi di elementi reali passivi non reciproci (dispositivi a microonde costituiti da strutture contenenti ferriti, dispositivi a effetto Hall). Si dimostra, d'altra parte, che una rete costituita da bipoli passivi lineari stazionari è sempre reciproca. Diverso è il caso delle reti contenenti elementi attivi, in particolare generatori controllati, che sono certamente non reciproche; è evidente, infatti, che l'effetto della tensione d'ingresso di un amplificatore sulla corrente d'uscita è alquanto diverso da quello della stessa tensione, applicata in uscita, sulla corrente d'ingresso del circuito. 1 2 3 1 2 3 vo + - vo + - G. V. Pallottino – Aprile 2011 Appunti di Elettronica - Parte II pag. 9 Università di Roma Sapienza - Dipartimento di Fisica i31 i13
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