Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

More documents

Recommendations

Info

CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 9 operatore Hermitiano è Hermitiana. La matrice rappresentativa dell’operatore Ĥ, prodotto di due operatori ˆF e Ĝ, in una base {|A i 〉} i=1,n , ha elementi h ij = 〈A i | ˆF Ĝ|A j〉. Per la condizione di completezza: h ij = ∑ k 〈A i | ˆF |A k 〉〈A k |Ĝ|A j〉 (1.35) La (1.35) è l’elemento (i, j) della matrice prodotto riga per colonna delle due matrici rappresentative di ˆF e Ĝ, rispettivamente: h ij = ∑ k f ik g kj (1.36) da cui: Ĥ = ˆF Ĝ |A i〉 −→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ h 11 · · · h 1n f 11 · · · f 1n g 11 · · · g 1n ⎜ ⎝ . . ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ . . ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ . . ⎟ ⎠ (1.37) h n1 · · · h nn f n1 · · · f nn g n1 · · · g nn Vale a dire: la matrice rappresentativa dell’operatore prodotto di due operatori è il prodotto riga per colonna delle matrici rappresentative dei due operatori. 1.5 Relazioni di commutazione Siano A e B due variabili dinamiche, associate agli operatori Â e ˆB, e sia |A〉 un autovettore di Â associato all’autovalore a; supponiamo di compiere una misura dell’osservabile A e successivamente una misura dell’osservabile B, su un sistema che (all’inizio) sia nello stato rappresentato da |A〉. Il risultato della prima misura è a, e il sistema rimane ancora nello stato A (infatti |A〉 è autovettore di Â). La seconda misura fornirà un certo autovalore di B (secondo una data distribuzione di probabilità che dipende dai coefficienti della combinazione lineare di |A〉 in funzione degli autovettori |B i 〉 di ˆB ) e porterà il sistema nel corrispondente autostato di B. Supponiamo ora di invertire le due misure: la prima misura (B) fornirà ancora uno tra gli autovalori di ˆB (secondo la stessa distribuzione di probabilità di cui sopra); la seconda misura (A) non darà più con certezza il valore a perchè, a seguito della prima misura, il sistema si è spostato da un autostato di A a un autostato di B che, in generale, non è pure autostato di A. Le due misurazioni non sono dunque scambiabili: ai fini del risultato conta l’ordine con cui vengono effettuate. In formule ˆBÂ|A〉 ≠ Â ˆB|A〉 → ˆBÂ ≠ Â ˆB → ˆBÂ − Â ˆB ≠ 0 (1.38) Dunque, a differenza del prodotto ordinario, il prodotto tra operatori non è commutativo. Una notazione compatta per indicare la differenza ˆBÂ−Â ˆB è [ ˆB, Â]. Tale espressione viene detta commutatore (di Â e di ˆB). Si noti che [ ˆB, Â] = −[Â, ˆB].
CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 10 Supponiamo ora che i due operatori commutino: questo vuol dire che [ ˆB, Â] = 0. In tal caso: Â ˆB|A〉 = ˆBÂ|A〉 = a ˆB|A〉 (1.39) La (1.39), letta nel modo Â( ˆB|A〉) = a( ˆB|A〉), insieme con la Â|A〉 = a|A〉, dice che sia |A〉 sia ˆB|A〉 sono autovettori dell’operatore Â, associati allo stesso autovalore a; allora, per quanto detto in precedenza (a meno di degenerazioni dell’autovalore che qui non consideriamo) ˆB|A〉 e |A〉 descrivono lo stesso autostato e devono quindi differire al più per una certa costante (sia b). Dunque ˆB|A〉 = b|A〉 (1.40) vale a dire: |A〉 è autovettore di ˆB con autovalore associato b. In sintesi, due operatori che commutano hanno uno stesso insieme di autovettori; in tal caso sono possibili misure simultanee delle osservabili corrispondenti che forniscono risultati certi e indipendenti dall’ordine con cui vengono effettuate. In generale, dato un insieme I = {A i } i=1,n di osservabili che commutano, cioè tali per cui per ciascuna coppia (i, j) vale [Âi, Âj] = 0, ciascun autovettore potrà essere etichettato dall’insieme (a 1 , . . . , a n ) degli autovalori associati (uno per ogni operatore dell’insieme) |A〉 → |a 1 , . . . , a n 〉 ≡ |a〉 (1.41) dove si è indicato con a l’insieme {a i } i=1,n . Nella teoria generale è importante saper trattare con espressioni del tipo [AB, C] dove con A,B e C si intendono tre operatori (si è omesso il simbolo ˆ su ciascun operatore): [AB, C] = ABC − CAB = ABC − CAB + ACB − ACB Analogamente [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C. = A(BC − CB) + (AC − CA)B = A[B, C] + [A, C]B (1.42) 1.6 Principio di Corrispondenza Il principio di corrispondenza stabilisce regole precise per tradurre qualunque osservabile classica nel corrispondente operatore quantistico. Trattandosi per l’appunto di un principio, una sua dimostrazione non è formalmente richiesta e la sua veridicità, assunta a priori, si giustifica in base all’accordo tra i risultati sperimentali e quelli predetti con calcoli quantistici che ne facciano uso. Tuttavia è possibile ottenere dimostrazioni di tale principio assumendo a priori la veridicità di altri principi da cui viene poi ottenuto per derivazione logica. Una via (quella seguita da Dirac) consiste nello stabilire una corrispondenza tra il commutatore di due operatori quantistici Â e ˆB e la parentesi di Poisson delle due variabili dinamiche classiche corrispondenti. L’altra via (quella seguita da Schwinger) consiste nell’assumere come principio base quello di minima azione: classicamente, data la Lagrangiana L di un sistema, la corretta traiettoria spazio-temporale percorsa dal sistema, nella propria evoluzione da un tempo t 1 a un tempo t 2 , è quella che rende minimo l’integrale di azione: I = ∫ t2 t 1 L dq (1.43)
Page 1 and 2: Approccio Computazionale alla Nanom
Page 3 and 4: Capitolo 1 Premesse fisico-matemati
Page 5 and 6: CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMAT
Page 9: CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMAT
Page 21 and 22: CAPITOLO 2. APPLICAZIONI A SISTEMI
Page 33 and 34: Capitolo 3 Spazio di Fock e seconda
Page 35 and 36: CAPITOLO 3. SPAZIO DI FOCK E SECOND
Page 45 and 46: CAPITOLO 4. APPLICAZIONE ALLE STRUT

Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?