Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 7
tali posizioni possono variare con continuità in un dato intervallo. Essendo la posizione di un
oggetto un’osservabile, detto |r〉 il generico autostato dell’operatore posizione ˆr [r è l’insieme
delle tre coordinate spaziali (x, y, z)], per cui ˆr|r〉 = r|r〉, un qualunque stato B potrà essere
rappresentato dai coefficienti c(r) = 〈r|B〉 i quali, essendo le coordinate r variabili con continuità,
sono in realtà delle funzioni delle stesse. Al variare di r, il ket |r〉 (o il bra 〈r|) descrive
tutti i possibili autovettori di ˆr e c(r) rappresenta l’intero insieme dei coefficienti che esprimono
|B〉 in funzione di |r〉. La funzione c(r) dunque è la rappresentazione di |B〉 nello spazio
delle coordinate (rappresentazione di Schrödinger) ed è normalmente indicata con il simbolo
ψ(r) (funzione d’onda). Quanto detto a proposito dei c i , in merito alla loro interpretazione in
termini di ampiezze di probabilità, si traspone facilmente al caso degli autovalori continui: la
funzione ψ(r) è l’ampiezza di probabilità che la misura della posizione di un oggetto dia come
risultato r. La corrispondente densità di probabilità nel punto r è |ψ(r)| 2 , mentre la probabilità
che la misura posizionale dia un valore compreso nell’intervallo infinitesimo dr è |ψ(r)| 2 dr.
Nel caso di autovettori continui, la condizione di completezza (1.23) viene conveniente
espressa da
∫
|r〉dr〈r| = 1 (1.25)
dove la sommatoria (discreta) sugli autostati è stata sostituita da un integrale (sommatoria
continua) sugli stessi. Risulta:
∫
∫
|B〉 = 1 |B〉 = |r〉dr〈r|B〉 = |r〉dr ψ B (r) (1.26)
La rappresentazione di B in un altro sistema di riferimento r ′ sarà allora facilmente ottenibile
dalla (1.26):
∫
ψ B (r ′ ) = 〈r ′ |r〉dr ψ B (r) (1.27)
ammesso di conoscere la funzione di trasformazione 〈r ′ |r〉.
Se |A〉 è un ket normalizzato che descrive lo stato di una particella, 〈A|A〉 = 1. Nella
rappresentazione di Schrödinger, per la condizione di completezza, si ha allora:
∫
∫
∫
〈A|A〉 = 1 = 〈A|1|A〉 = 〈A|r〉dr〈r|A〉 = dr ψ(r)ψ(r) = dr |ψ(r)| 2 (1.28)
Vale a dire: l’integrale su tutto lo spazio della probabilità di trovare la particella in una qualche
posizione r vale 1. Diviene così evidente la necessità di usare funzioni d’onda normalizzate:
poiché deve essere certa la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio,
la somma (integrale) delle probabilità su tutte le possibili posizioni deve essere 1 (1 è, per
definizione, la probabilità dell’evento certo).
Anche gli operatori possono essere rappresentati nello spazio base degli autovettori di una
qualche variabile dinamica. Con riferimento al caso discreto e finito, sia ˆF un operatore e sia
{|A i 〉} i=1,n un insieme completo (e finito) di vettori; l’insieme dei numeri f ij = 〈A i | ˆF |A j 〉
costituisce la corrispondente rappresentazione di ˆF . Gli fij possono essere organizzati nella