Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 5
Vediamo ancora una proprietà riguardante il coniugato Hermitiano del prodotto di due operatori
ˆF e Ĝ; posti ˆF |A〉 = |B〉 e Ĝ † |C〉 = |D〉, si ha:
Allora,
〈B|D〉 = 〈A| ˆF † Ĝ † |C〉 = 〈D|B〉 = 〈C|Ĝ ˆF |A〉 = 〈A|(Ĝ ˆF ) † |C〉 (1.17)
(Ĝ ˆF ) † = ˆF † Ĝ † (1.18)
dove si è sfruttato il fatto che, per un qualunque operatore Ĝ, (Ĝ† ) † = Ĝ. In una sezione successiva
si vedrà che il prodotto di operatori non è in generale commutativo ( ˆF Ĝ ≠ Ĝ ˆF ) e conta
quindi l’ordine con cui i prodotti sono effettuati. La (1.18) dice che il coniugato Hermitiano
del prodotto di due operatori è uguale al prodotto in ordine inverso dei coniugati Hermitiani
degli stessi.
1.3 Misure
Si assume che il risultato della misura dell’osservabile F su un sistema che si trovi in un
autostato di ˆF sia l’autovalore corrispondente a quell’autostato (o meglio, corrispondente all’autovettore
associato a quell’autostato). Dunque, se vale ˆF |A〉 = a|A〉, a è il risultato della
misura di F quando il sistema si trovi nello stato A descritto da |A〉. Se A è normalizzato,
a = 〈A| ˆF |A〉.
Se il sistema si trova in uno stato B che non è autostato di F , si assume comunque che il
risultato della misura di F sia uno dei possibili autovalori di ˆF . Non è dato tuttavia conoscere
con certezza quale tra gli autovalori di ˆF sia il risultato di una singola misura: è noto che
la misura non potrà fornire che uno degli autovalori di ˆF , ma non si sa quale di questi. Si
assume pure che il valore 〈B| ˆF |B〉 sia il valor medio di un gran numero di misure della stessa
osservabile su sistemi identici (e non più misure ripetute della stessa osservabile sullo stesso
sistema). Inoltre, per continuità fisica, la misura di un’osservabile F compiuta una seconda
volta sullo stesso sistema deve dare lo stesso valore ottenuto con la prima misura. Sia a il
risultato della prima misura di F su un sistema che si trova in uno stato B che non è autostato
di F : sappiamo che a deve essere un autovalore di F ; ora, se ripetiamo la misura una seconda
volta, per la continuità fisica di cui sopra, sappiamo che il risultato deve essere certamente a:
questo vuol dire che, per la seconda misura, il sistema dove trovarsi in quell’autostato (A) di
F associato all’autovalore a. Ma allora la prima misura ha causato la transizione del sistema
dallo stato B allo stato A (collasso della funzione d’onda).
Poiché la misura di un’osservabile F su un qualunque stato B causa la transizione da B
a un autostato A di F , si ammette che B (qualunque esso sia) sia sempre esprimibile come
sovrapposizione di un certo numero di autostati di F ; la misura avrebbe l’effetto di proiettare
lo stato B su uno degli stati base da cui è composto. In formule:
|B〉 = c 1 |A 1 〉 + · · · + c n |A n 〉 ≡ ∑
c i |A i 〉 (1.19)
i=1,n
〈B| ˆF |B〉 = ∑ i,j
c i c j 〈A i | ˆF |A j 〉 = ∑ i,j
c i c j a j 〈A i |A j 〉 = ∑ i,j
c i c j a j δ ij = ∑ j
|c j | 2 a j (1.20)