Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

Capitolo 2
Applicazioni a sistemi atomici e
molecolari
2.1 L’atomo di idrogeno
Il sistema conservativo più semplice dotato di un potenziale centrale V = −e 2 /r (dove e è
la carica elettronica) è l’atomo di idrogeno. Nella rappresentazione di Schrödinger, a nucleo
fermo, l’operatore Hamiltoniano assume la forma: −¯h 2 /2m∇ 2 − e 2 /r, dove il primo termine
rappresenta il contributo cinetico all’energia. L’equazione del moto indipendente dal tempo è
allora l’equazione differenziale del secondo ordine:
( ) ]
[− ¯h2 ∂
2
2m ∂x + ∂2
2 ∂y + ∂2
− e2
ψ(r) = Eψ(r) (2.1)
2 ∂z 2 r
Poiché ˆl e ˆl z commutano con Ĥ, l’autofunzione ψ di Ĥ che soddisfa all’equazione (2.1) deve
pure essere autofunzione del momento angolare. Passando a un sistema di coordinate sferiche,
questo vuol dire che, fissati l ed m, sia ψ(r, θ, φ), sia l’armonica sferica Ym(θ, l φ) devono
descrivere lo stesso autostato del momento angolare; ma allora ψ(r, θ, φ) e Ym(θ, l φ) devono
differire al più per una costante (sia R): ψ(r, θ, φ) = R Ym(θ, l φ). Si noti che, non dipendendo
gli autovettori del momento angolare da r, ma soltanto dalle coordinate θ e φ, si richiede che
la costante R sia tale (cioè costante) solo rispetto alle ultime due coordinate, mentre nessun
vincolo si pone relativamente ad una sua dipendenza da r.
In ultima analisi, la trattazione dettagliata del problema e la soluzione esplicita dell’equazione
(2.1) portano a:
ψ(r, θ, φ) = R nl (r)Ym(θ, ⎧⎪ l φ)
⎨
⎪ ⎩
Ĥψ(r, θ, φ) = E n ψ(r, θ, φ)
ˆl 2 ψ(r, θ, φ) = l(l + 1)¯h 2 ψ(r, θ, φ)
(2.2)
ˆl z ψ(r, θ, φ) = m¯hψ(r, θ, φ)
dove n è un numero intero positivo (zero escluso, come avviene nel caso della particella nella
scatola) da cui dipende l’energia dell’elettrone nel campo creato dal nucleo [la seconda equazione
delle (2.2) mostra appunto che E dipende solo da n]; l può assumere solo i valori interi
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