Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

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CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 13 dove n è un numero intero non nullo (se fosse k = 0 la funzione d’onda sarebbe nulla ovunque: non esistenza della particella; per lo stesso motivo non può essere B = 0). Nota la relazione tra k e p (di cui al paragrafo precedente: k = p/¯h), l’energia cinetica della particella sarà: T = p 2 /2m = ¯h 2 k 2 /2m = n 2¯h 2 π 2 /2mL 2 = n 2 h 2 /8mL 2 (1.53) Il risultato notevole è che il valore di T non può essere qualunque ma è ristretto ai multipli interi di h 2 /8mL 2 : la particella non può avere un qualsivoglia valore dell’energia cinetica, così come non può avere un momento p (e velocità) qualunque. Ancora, poiché n deve essere non nullo, l’energia cinetica della particella non può in alcun caso essere nulla: la particella non può stare ferma. L’energia cinetica più bassa consentita è h 2 /8mL 2 ed è chiamata energia di punto zero. La quantizzazione dell’energia cinetica (cioè la sua non continuità), ovvero l’esistenza di livelli energetici discreti, è una diretta conseguenza dell’imposizione delle condizioni al contorno. 1.7 Momento Angolare Una osservabile classica particolarmente importante che, nei campi di forza centrali, è una costante del moto, è il momento angolare ⃗ l = ⃗r × ⃗p, dove il prodotto implicato è vettoriale. In componenti: ⎧⎪ ⎨ ⎪ ⎩ l x = yp z − zp y l y = zp x − xp z (1.54) l z = xp y − yp x Il modulo quadro di ⃗ l è la somma dei quadrati delle tre componenti: l 2 ≡ | ⃗ l| 2 = l 2 x + l 2 y + l 2 z. È interessante calcolare le relazioni di commutazione tra le diverse componenti del momento angolare, ad esempio: [ˆl x , ˆl y ] = [ŷˆp z − ẑ ˆp y , ẑ ˆp x − ˆxˆp z ] = [ŷˆp z , ẑ ˆp x ] − [ŷˆp z , ˆxˆp z ] − [ẑ ˆp y , ẑ ˆp x ] + [ẑ ˆp y , ˆxˆp z ] (1.55) Il primo commutatore a destra dell’ultima uguaglianza vale [ŷˆp z , ẑ ˆp x ] = ŷ[ˆp z , ẑ ˆp x ] + [ŷ, ẑ ˆp x ]ˆp z = ŷẑ[ˆp z , ˆp x ] + ŷ[ˆp z , ẑ]ˆp x + ẑ[ŷ, ˆp x ]ˆp z + [ŷ, ẑ]ˆp xˆp z = −ı¯hŷˆp x (1.56) Il secondo ed il terzo commutatore della (1.55) sono nulli, mentre il quarto vale: [ẑ ˆp y , ˆxˆp z ] = ẑ[ˆp y , ˆxˆp z ] + [ẑ, ˆxˆp z ]ˆp y = ẑˆx[ˆp y , ˆp z ] + ẑ[ˆp y , ˆx]ˆp z + ˆx[ẑ, ˆp z ]ˆp y + [ẑ, ˆx]ˆp z ˆp y = ı¯hˆxˆp y (1.57) In definitiva: [ˆl x , ˆl y ] = ı¯h(ˆxˆp y − ŷˆp x ) = ı¯hˆl z (1.58) In modo del tutto analogo si dimostra che [ˆl y , ˆl z ] = ı¯hˆl x e [ˆl x , ˆl z ] = −ı¯hˆl y . La non commutabilità delle diverse componenti del momento angolare implica la non misurabilità
CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 14 simultanea delle stesse: per un dato sistema è possibile specificare solo una delle tre componenti del momento angolare. Si noti che: [ˆl 2 , ˆl z ] = [ˆl 2 x, ˆl z ] + [ˆl 2 y, ˆl z ] + [ˆl 2 z, ˆl z ] = ˆl x [ˆl x , ˆl z ] + [ˆl x , ˆl z ]ˆl x + ˆl y [ˆl y , ˆl z ] + [ˆl y , ˆl z ]ˆl y + ˆl z [ˆl z , ˆl z ] + [ˆl z , ˆl z ]ˆl z = −ı¯hˆl xˆly − ı¯hˆl y ˆlx + ı¯hˆl y ˆlx + ı¯hˆl xˆly = 0 (1.59) Analogamente: [ˆl 2 , ˆl x ] = [ˆl 2 , ˆl y ] = 0. Il modulo quadro del momento angolare totale (o la sua radice e quindi il modulo del momento angolare totale) è quindi misurabile simultaneamente a una delle sue tre componenti. In sintesi, per un dato autostato B del momento angolare è possibile specificare contemporanemente sia il modulo del momento totale, sia una delle sue componenti (convenzionalmente ˆl z ) e l’autovettore rappresentativo potrà essere etichettato con i rispetti autovalori: |B〉 → |l, l z 〉. Consideriamo ora la componente ˆl z e vediamone la relazione di commutazione con l’operatore ˆp 2 (omettendo il simboloˆ): [p 2 , l z ] = [p 2 x, l z ] + [p 2 y, l z ] + [p 2 z, l z ] (1.60) con [p 2 x, l z ] = p x [p x , l z ] + [p x , l z ]p x e analoghe per le componenti p y e p z . D’altra parte, [p x , l z ] = [p x , xp y − yp x ] = x[p x , p y ] + [p x , x]p y − y[p x , p x ], −[p x , y]p x = ı¯hp y (1.61) e quindi, data la commutabilità tra p x e p y : [p 2 x, l z ] = ı¯hp x p y + ı¯hp y p x = 2ı¯hp x p y (1.62) Procedendo in modo analogo con gli altri due commutatori della (1.60), si ottiene: ⎧ ⎨ [p 2 y, l z ] = −2ı¯hp x p y ⎩ [p 2 z, l z ] = 0 (1.63) In totale: [p 2 , l z ] = 0. La componente ˆl z del momento angolare commuta con ˆp 2 e quindi con l’energia cinetica ˆT = ˆp 2 /2m. In un campo di forze centrali il potenziale ad esse associato dipende unicamente d<strong>alla</strong> distanza dall’origine delle forze: V = V (r), dove r = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 . In particolare, un potenziale Coulombiano è della forma 1/r. Calcoliamo il commutatore [1/r, l z ]: Ricordando che p y = −ı¯hd/dy, [1/r, l z ] = x[1/r, p y ] + [1/r, x]p y − y[1/r, p x ] − [1/r, y]p x (1.64) [1/r, p y ] = −ı¯h[1/r, d/dy] = ı¯hd(1/r)/dy = −ı¯h2y/r (1.65) e quindi x[1/r, p y ] = −ı¯h2xy/r. In modo analogo si dimostra che il terzo commutatore nella (1.64) vale ı¯h2xy/r, mentre sono nulli i rimanenti due commutatori. In definitiva [1/r, l z ] = 0.
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