Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

Capitolo 4
Applicazione alle strutture cristalline
In questo capitolo si assumono note la definizione e le principali proprietà dei gruppi, peraltro
discusse in numerosi testi. Qualche dettaglio è fornito relativamente al concetto di
rappresentazione di un gruppo e sue proprietà.
4.1 Simmetria
Un sistema invariante a seguito di una data trasformazione si dice simmetrico rispetto a quella
trasformazione. Per un sistema simmetrico, sono formalmente definibili degli operatori Ŝ che
esprimono l’effetto della trasformazione attraverso equazioni del tipo:
Ŝ|ψ〉 = s|ψ〉 (4.1)
dove la simmetria del sistema rispetto a Ŝ viene formalmente tradotta in un’equazione agli
autovalori: se il sistema è invariante rispetto alla trasformazione S, allora l’applicazione della
stessa non deve avere effetti osservabili e quindi non mutare lo stato del sistema. In altre
parole, gli stati possibili del sistema sono autostati degli operatori di simmetria.
Non alterando nulla di un sistema, una simmetria Ŝ conserva evidentemente pure la
normalizzazione; ricordando che al ket Ŝ|ψ〉 corrisponde il bra 〈ψ|Ŝ† , ciò implica:
〈ψ|ψ〉 = 1 = 〈ψ|Ŝ† Ŝ|ψ〉 → S † Ŝ = Î (4.2)
(dove Î è la trasformazione identica) per cui gli operatori di simmetria sono unitari (Ŝ† = Ŝ−1 ).
Se un sistema è simmetrico rispetto a una trasformazione S, tutte le sue proprietà (che, ricordiamo,
sono estraibili unicamente dal vettore di stato |ψ〉) sono necessariamente invarianti
rispetto alla stessa. In particolare, l’energia del sistema non varia a seguito dell’azione di Ŝ,
da cui:
E = 〈ψ|Ĥ|ψ〉 = 〈ψ|Ŝ† ĤŜ|ψ〉 → S† ĤŜ = H (4.3)
Data l’unitarietà di Ŝ, la (4.3) implica ĤŜ − ŜĤ ≡ [Ĥ, Ŝ] = 0: gli operatori di simmetria
di un sistema commutano con l’Hamiltoniano. In generale, l’insieme {Ŝj} degli operatori
che commutano con l’Hamiltoniano, dotato dell’operazione prodotto (inteso come applicazione
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