Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 17
1.8 Autovettori del momento angolare
Tornando al momento angolare orbitale (ˆl) per un sistema soggetto a forze centrali, una trattazione
completa mostra che questo è quantizzato e può assumere soltanto i valori √ l(l + 1) ¯h,
dove l è un numero intero, zero compreso. La componente del momento angolare lungo una
data direzione (ˆl z ) è essa stessa quantizzata e può assumere soltanto i valori interi m, compresi
nell’intervallo [−l, l] (tradizionalmente il numero quantico l z viene indicato con la lettera m).
Si noti che nel caso dello spin i corrispondenti numeri quantici (s e s z ) valgono: s = 1/2 e
s z = −1/2, 1/2.
Gli autovettori del momento angolare, nella rappresentazione di Schrödinger, sono le funzioni
armoniche sferiche che, in coordinate sferiche (r, θ, φ) sono indicate con la notazione
Ym(θ, l φ) (le armoniche sferiche non hanno una dipendenza da r, radiale). Valgono allora le
due equazioni:
⎧
⎨ ˆl 2 Ym(θ, l φ) = l(l + 1) ¯h 2 Ym(θ, l φ)
(1.73)
⎩ ˆl z Ym(θ, l φ) = m ¯h Ym(θ, l φ)
Fissato l esistono allora 2l + 1 autofunzioni di ˆl 2 associate allo stesso autovalore l(l + 1)¯h 2 :
precisamente tutte quelle ottenute al variare di m tra −l ed l. Per esempio, se l = 1 si hanno
le tre armoniche Y−1(θ, 1 φ), Y0 1 (θ, φ) e Y1 1 (θ, φ). Combinazioni lineari di armoniche avento lo
stesso l (e diverso m) sono ancora autofunzioni di ˆl 2 (e di ˆl) associate al medesimo autovalore,
ma non sono ovviamente più autofunzioni di l z .
1.9 Equazioni del moto
Come già accennato, all’energia totale di un sistema corrisponde un operatore Hamiltoniano
(Ĥ, Hermitiano) ottenuto, secondo il principio di corrispondenza, dalla funzione Hamiltoniana
classica, essendo quest’ultima esprimibile (nei casi di nostro interesse) come somma dei
contributi cinetico (T ) e potenziale (V ) all’energia totale: H = T + V .
Si assume che la funzione d’onda Ψ(r, t) di un sistema soddisfi all’equazione del moto
(equazione di Schrödinger dipendente dal tempo):
∂Ψ(r, t)
ĤΨ(r, t) = ı¯h
∂t
(1.74)
dove t è il tempo. Se Ĥ non dipende dal tempo (sistema conservativo), considerazioni che
qui tralasciamo mostrano che è possibile fattorizzare Ψ(r, t) nel prodotto e −iEt/¯h ψ(r), e
all’equazione (1.74) corrisponde quella indipendente dal tempo:
Ĥψ(r) = Eψ(r) (1.75)
dove E è l’energia totale del sistema. Consideriamo un operatore ˆF e il suo valor medio in uno
stato rappresentato dal vettore |ψ〉 [ψ(r, t) = 〈r|ψ〉]: F = 〈ψ| ˆF |ψ〉 e valutiamone la derivata
rispetto al tempo; per la regola di derivazione di un prodotto:
dF
dt = 〈ψ| ˙ ˆF |ψ〉 + 〈ψ| ∂ ˆF |ψ〉 + 〈ψ| ˆF |ψ〉 ˙
(1.76)
∂t