Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

CAPITOLO 4. APPLICAZIONE ALLE STRUTTURE CRISTALLINE 49
e, perciò, l’operatore ˆR l trasla di R j + R i . Combinando la (4.27) con la seconda delle (4.26),
si ottiene:
ˆR i ˆRj ψ(r) = ˆR i χ(R j )ψ(r) = χ(R j )χ(R i )ψ(r) = ˆR l ψ(r) = χ(R i + R j )ψ(r) (4.28)
da cui si ottiene l’importante relazione tra i caratteri degli operatori traslazione:
χ(R j )χ(R i ) = χ(R i + R j ) (4.29)
Data una base reticolare B = {a i } i=1,3 , ciascuna traslazione reticolare R j sarà esprimibile come
combinazione lineare (a coefficienti interi, n i ) dei vettori di B:
R j = ∑ i
n i a i (4.30)
da cui, dalla (4.29), segue che:
χ(R j ) = χ(a 1 ) n 1
χ(a 2 ) n 2
χ(a 3 ) n 3
(4.31)
Scrivendo in notazione esponenziale ciascun χ(a i ), per cui χ(a i ) = e 2πık i
, abbiamo:
χ(R j ) = e 2πı(n 1k 1 +n 2 k 2 +n 3 k 3 ) = e 2πık·R j
(4.32)
dove k = ∑ l k la ∗ l , con i nuovi vettori a∗ definiti dalle relazioni a ∗ l · a i = δ li . Riconosciuti nei
k i vettori appartenenti allo spazio reciproco, possiamo dire che esiste una rappresentazione
irriducibile del gruppo di simmetria delle traslazioni per ogni vettore k dello spazio reciproco.
Si noti che due vettori k e k ′ che differiscano per un vettore K del reticolo reciproco identificano
la stessa rappresentazione; si ha infatti: K = ∑ i m ia ∗ i (con m i interi), K·R j = ∑ m i n i (quindi
il prodotto K · R j è un numero intero) e
χ k′ (R j ) = e 2πık′·R j
= e 2πık·R j
e 2πıK·R j
= χ k (R j ) (4.33)
per cui, per ogni ˆR j ∈ T , i caratteri delle due rappresentazioni k e k ′ sono uguali e identificano
la stessa rappresentazione. Ci si può allora limitare a considerare le sole rappresentazioni (non
equivalenti) etichettate da vettori k appartenenti alla prima zona di Brillouin.
Le autofunzioni degli operatori di traslazione (che, ricordiamo, sono anche autofunzioni
dell’Hamiltoniano) saranno esse stesse etichettabili con i vettori k dello spazio reciproco;
richiamando la seconda delle (4.26), abbiamo
ˆR j ψ k (r) = e 2πık·R j
ψ k (r) (4.34)
L’equazione (4.34) è il teorema di Bloch e la funzione ψ k viene detta funzione di Bloch.
È d’uso introdurre le condizioni cicliche al contorno di Born-Von Karman che conferiscono al
cristallo infinito la topologia di un 3-toro. In pratica, scelti tre interi N j (j = 1, 2, 3), si pone
ψ k (r + N j a j ) = ψ k (r) (4.35)