Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 3
Se nella (1.2) i ket |A〉 e |B〉 sono ortogonali (e normalizzati), i coefficienti c 1 e c 2 si ottengono
moltiplicando l’equazione, a sinistra, rispettivamente per gli immaginari coniugati 〈A| e 〈B|:
D’altra parte, usando la (1.3), abbiamo:
〈A|C〉 = c 1 〈A|A〉 + c 2 〈A|B〉 = c 1 · 1 + c 2 · 0 = c 1
〈B|C〉 = c 1 〈B|A〉 + c 2 〈B|B〉 = c 1 · 0 + c 2 · 1 = c 2
(1.4)
c 1 = 〈C|A〉 → c 1 = 〈C|A〉
c 2 = 〈C|B〉 → c 2 = 〈C|B〉
(1.5)
Dal confronto delle (1.4) e (1.5) risulta allora che 〈A|C〉 = 〈C|A〉 e 〈B|C〉 = 〈C|B〉. In
definitiva, affinchè un dato stato possa essere espresso in termini di sovrapposizione di altri
stati, con coefficienti indipendenti dalla scelta della particolare rappresentazione (in ket o bra)
conviene far valere la relazione generale
1.2 Variabili dinamiche
〈A|B〉 = 〈B|A〉 (1.6)
L’effetto della misura di un’osservabile viene specificato tramite l’azione di un operatore sul ket
che descrive il sistema. A ogni osservabile (o variabile dinamica) nota in meccanica classica
corrisponde un operatore quantistico construito a partire da certe regole che, nell’insieme,
prendono il nome di principio di corrispondenza.
Se ˆF è l’operatore corrispondente alla variabile dinamica F , l’effetto della misura di F su
un sistema nello stato rappresentato dal ket |A〉 è indicato dall’espressione ˆF |A〉. In generale,
ˆF |A〉 = |B〉, dove |B〉 rappresenta un (diverso) stato del sistema; in altre parole, la misura
di F comporta la transizione del sistema da uno stato A a uno stato (diverso) B. Vale pure
un’equazione corrispondente per i bra: 〈A| ˆF † = 〈B|, dove l’operatore ˆF † viene detto coniugato
Hermitiano (o aggiunto) di ˆF . Un operatore si dice Hermitiano (autoaggiunto) se ˆF = ˆF † .
Gli operatori che rappresentano osservabili sono Hermitiani. Ricordando la (1.6), ponendo
|B〉 = ˆF |C〉, abbiamo 〈B| = 〈C| ˆF † e:
〈C| ˆF † |A〉 = 〈A| ˆF |C〉 (1.7)
Gli operatori ˆF sono lineari nel senso che soddisfano equazioni del tipo
ed analoghe sui bra.
ˆF (c 1 |A〉 + c 2 |B〉) = c 1 ˆF |A〉 + c2 ˆF |B〉 (1.8)
Non sempre l’effetto della misura dell’osservabile F su un sistema in uno stato A porta alla
transizione a uno stato diverso. In tali casi valgono equazioni del tipo
ˆF |A〉 = a|A〉 (1.9)