Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 15
Per quanto visto, la componente ˆl z del momento angolare orbitale commuta sia con l’operatore
ˆT che rappresenta l’energia cinetica, sia con un operatore ˆV che rappresenta il potenziale dovuto
a forze centrali, eventualmente agenti sul sistema. Lo stesso dicasi per ˆl. Definendo l’operatore
Hamiltoniano (Ĥ) come la somma di ˆT e ˆV , abbiamo: [ˆlz , Ĥ] = [ˆl, Ĥ] = 0. L’Hamiltoniano
rappresenta l’energia totale del sistema e la sua commutabilità con il momento angolare totale
e con una delle sue componenti implica l’esistenza di stati che abbiano, nello stesso tempo,
valori definiti dell’energia e del momento angolare. Se E è l’autovalore associato ad un dato
autovettore |A〉 di Ĥ (cioè E è l’energia di un sistema che si trova in un certo autostato
dell’Hamiltoniano), allora: |A〉 → |E, l, l z 〉. Questo risultato è alla base della teoria atomica.
1.7.1 Un esempio: Lo spin dell’elettrone
Misurazioni sperimentali indicano che all’elettrone è invariabilmente associato un momento
magnetico. Fissato un sistema di riferimento, di tale momento magnetico è possibile ottenere
una sola componente lungo un dato asse (sia z) la quale può avere solo i due possibili valori
¯he/2mc e −¯he/2mc (e, m e c sono rispettivamente la carica, la massa elettronica e la velocità
della luce). Questi risultati suggeriscono la possibilità di assegnare all’elettrone un momento
angolare detto di spin (ŝ) la cui componente lungo z (ŝ z ) abbia gli autovalori ¯h/2 e −¯h/2.
Indichiamo con |α〉 e con |β〉 gli autovettori di ŝ z associati rispettivamente agli autovalori
¯h/2 e −¯h/2:
{
ŝz |α〉 = 1/2 ¯h|α〉
(1.66)
ŝ z |β〉 = −1/2 ¯h|β〉
La matrice S z , rappresentativa di ŝ z nello spazio degli autovettori (|α〉, |β〉), è allora:
S z = 1/2 ¯h
( )
1 0
0 −1
(1.67)
Trattandosi di un momento angolare, per ŝ e le sue componenti devono valere le stesse relazioni
di commutazione viste per ˆl e sue componenti; in particolare, in termini matriciali (cioè
rappresentando tutti gli operatori di spin nello spazio degli autovettori di ŝ z ):
⎧
⎪⎨
⎪⎩
S x S y − S y S x ≡ [S x , S y ] = ı¯hS z
S y S z − S z S y ≡ [S y , S z ] = ı¯hS x
(1.68)
S z S x − S x S z ≡ [S z , S x ] = ı¯hS y