Approccio Computazionale alla Nanomineralogia

CAPITOLO 1. PREMESSE FISICO-MATEMATICHE 11
dove q è un insieme di variabili canoniche atte a descrivere la traiettoria. Il principio di minima
azione assume la forma δI = 0, ove con δI si intenda la variazione dell’integrale di azione a
seguito di una variazione arbitraria della traiettoria tra gli estremi temporali t 1 e t 2 . È possibile
formulare l’evoluzione di un sistema quantistico in modo analogo, costruendo opportunamente
una Lagrangiana quantistica che, assunta la validità del principio di minima azione anche per
un sistema quantistico, consenta di ottenere le corrette traiettorie spazio-temporali. Dalla
corrispondenza tra le Lagrangiane classica e quantistica discendono poi le regole di traduzione
delle osservabili classiche negli operatori quantistici.
La trattazione dettagliata del principio di corrispondenza è molto complessa e va al di là
degli scopi di queste note; seguiamo perciò una trattazione molto semplificata e parziale del
principio, a partire dalla relazione di de Broglie, che supporremo nota e assunta a priori, tra
impulso (p) di una particella e lunghezza d’onda (λ) dell’onda associata:
dove h è la costante di Planck.
λ = h/p (1.44)
L’espressione generale di un’onda piana di vettore d’onda ⃗ k è ψ = e ı⃗k·⃗r . Riferendoci al
caso semplice monodimensionale di un’onda che si propaga lungo x: ψ = e ıkx . Ricordando la
relazione di Eulero e ıa = cos a + ı sin b, ψ = cos(kx) + ı sin(kx). A partire da una delle due
componenti (reale o immaginaria) dell’onda ψ si evince facilmente che la lunghezza d’onda
è data dalla relazione kλ = 2π, da cui: k = 2π/λ. Introducendo la (1.44), otteniamo:
k = 2πp/h = p/¯h, dove ¯h = h/2π. In definitiva: ψ = e ıpx/¯h .
Consideriamo ora la derivata rispetto a x dell’onda ψ:
dψ
dx = d
eıpx/¯h = ıp¯h eıpx/¯h (1.45)
dx
Possiamo allora definire l’operatore −ı¯h d/dx che, agendo su ψ, fornisce
−ı¯h d ψ = pψ (1.46)
dx
L’equazione (1.46) è un’equazione agli autovalori in cui un dato operatore (−ı¯h d/dx) agisce
su una funzione (ψ) per dare la stessa funzione moltiplicata per una costante (p). Possiamo
allora assumere che l’espressione quantistica dell’operatore impulso ˆp, nella rappresentazione di
Schrödinger, sia proprio −ı¯h d/dx e ψ = e ıpx/¯h sia l’autovettore dell’operatore corrispondente
all’autovalore p.
In tre dimensioni l’operatore ˆp diviene un operatore vettoriale con tre componenti
(ˆp x , ˆp y , ˆp z ), per cui
(
)
ˆp = −ı¯h ∂/∂x⃗i + ∂/∂y⃗j + ∂/∂z ⃗ k ≡ −ı¯h∇ (1.47)
dove (⃗i,⃗j, ⃗ k) sono tre vettori ortonormali e ∇ è l’operatore vettoriale gradiente. Si noti che ˆp 2 =
ˆp·ˆp = −¯h 2 (∂ 2 /∂ 2 x+∂ 2 /∂ 2 y+∂ 2 /∂ 2 z) ≡ −¯h 2 ∇ 2 (dove ∇ 2 è l’operatore Laplaciano); l’operatore
corrispondente all’energia cinetica ( ˆT ) di una particella di massa m, che classicamente è definita
come p 2 /2m, è dunque −¯h 2 /2m∇ 2 .