Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Introduzione al metodo degli Elementi Finiti Cap. 1
3. Necessità della risoluzione numerica
In generale, non è possibile ricavare per via analitica una soluzione dalla (1.1). I metodi di
integrazione analitica disponibili (trasformate di Fourier e di Laplace, sviluppo in serie di
autofunzioni, separazione delle variabili) sono di limitata apllicabilità. Peraltro, anche nel caso che si
conoscesse l’integrale generale, non è poi detto che si riesca a determinare un integrale particolare.
Per ottenere quest’ultimo bisogna infatti assegnare opportune condizioni sulla soluzione (e/o sulle
sue derivate) sulla frontiera del dominio.
Da ciò segue l’importanza di disporre di metodi numerici che permettano di costruire
un’approssimazione
Φ
n
della soluzione esatta Φ e di valutare, in una qualche norma, l’errore
Φ n
− Φ che si commette sostituendo alla soluzione esatta quella approssimata. L’intero positivo N
denota la dimensione (finita) del problema approssimato.
Vi sono vari metodi utilizzati per la risoluzione numerica di una EDP. Molto comune è il metodo
delle differenze finite che approssima l’equazione differenziale mediante differenze finite, lasciando
il sistema continuo. I svantaggi del metodo delle differenze finite si avvertono nell’approssimazione
di un dominio bidimensionale, che può avvenire solamente in modo rozzo con celle quadrate, ed
all’atto dell’imposizione delle condizioni al contorno sulle derivate, che richiedono l’introduzione
artificiosa di altri nodi. Il metodo degli elementi finiti è il duale del metodo delle differenze finite, nel
senso che mentre il secondo approssima le equazioni differenziali applicate al continuo intatto, il
primo discretezza il continuo a cui applica le equazioni esatte. L’utilizzo di elementi distorti porta ad
una approssimazione molto precisa delle frontiere, inoltre applicando le equazioni esatte in forma
variazionale, le condizioni al contorno naturali sono automaticamente soddisfatte, e quelle essenziali
si impongono all’atto della soluzione del sistema. Il metodo delle differenze finite torna utile nei
problemi non stazionari, (sia parabolici che iperbolici) dove le equazioni differenziali vengono
approssimate col metodo delle differenze finite nella variabile temporale (metodi di Eulero per le
equazioni paraboliche, metodi di Newmark per le equazioni iperboliche).
Un secondo metodo di risoluzione numerica di una EDP è il metodo di Rayleigh-Ritz. Questo
metodo, come il metodo degli Elementi Finiti, risolve la EDP minimizzando il funzionale ad essa
associata (se ne discuterà nel prossimo paragrafo).
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