Tesi Specializzazion.. - Ingegneria Strutturale - Politecnico di Milano

Introduzione al metodo degli Elementi Finiti Cap. 1
∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ
L’equazione quasi armonica ( K
x
⋅ ) + ( K
y
⋅ ) + ( K
z
⋅ ) + Q = 0 definita da un
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
coefficiente K diverso nelle direzioni x, y, z. Equazioni di questo genere riguardano, ad esempio, la
trasmissione di calore in un mezzo ortotropo e la lubrificazione con moto laminare (equazione di
Reynolds).
4
L’equazione biarmonica K ⋅∇
Φ + Q = 0 che regola, ad esempio, il problema degli elementi
inflessi, travi e piastre, ma anche i problemi di elasticità piana, scritti assumendo come incognita la
funzione di Airy.
I fenomeni non stazionari più comuni si studiano a partire dall’equazione armonica, aggiungendo o la
derivata prima temporale o la derivata seconda.
Equazioni con la derivata prima temporale K ⋅∇
2
∂Φ
Φ + Q = b ⋅
∂t
regolano una serie di fenomeni
transitori (b è definito come il termine di immagazzinamento) quali il transitorio termico, il flusso di
Blasius (comportamento di un fluido in un mezzo seminfinito soggetto ad un movimento della base
su cui si appoggia), il consolidamento di un terreno, l’equazione di Schrodinger (moto libero di una
particella in meccanica quantistica).
Equazioni con la derivata seconda temporale
2
2 ∂ Φ ∂Φ
⋅∇
Φ + Q = µ ⋅ + h ⋅ + f
∂t
∂t
K
2
rappresentano numerosi fenomeni fisici quali, la propagazione di onde longitudinali in una barra, la
propagazione di onde acustiche, la propagazione di onde superficiali in acque poco profonde, la
propagazione di onde elettromagnetiche in un dielettrico.
⋅ Φ
2